2.2 Préliminaires
31
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L 3/2 (Bε)
Ω
|∇u|
2 +
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε)
Ω
u
2 .
Il est alors facile, en choisissant ε assez petit, de montrer par exemple que
E
Ω (u) ≥
1
2
Ω
|∇u|
2
− Z
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε) λ,
d’où l’on déduit la borne inférieure recherchée. On notera que, dans cette
preuve, cette borne inférieure n’est pas uniforme en λ.
Dans le cas où la singularité est mieux que L
3/2 , on raisonne un peu différemment. Fixons un réel p dans l’intervalle ]
3
2 ,
5
2 ], désignons par q le réel conjugué,
qui est donc dans [
5
3 , 3[, et bornons le terme d’attraction des noyaux de la façon
suivante :
−
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L p (Ω) u
2
L 2q (Ω)
=
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω) u
2−2α
L 6 (Ω) ,
(2.11)
où l’on a utilisé l’inégalité d’interpolation pour contrôler la norme L
2q en
fonction des normes L
10/3 et L
6 , ceci étant possible pour un certain 0 < α ≤ 1
puisque 2q est inférieur strict à 6, et supérieur à
10
3 . En utilisant maintenant
l’inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, nous obtenons
Ω
1
|x|
u
2
≤ C
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω)
2(1−α)
L 2 (Ω) .
(2.12)
Nous reprenons alors le raisonnement conduisant à l’établissement de la formule (2.6), cette fois en tenant compte du terme en gradient. Pour u ∈ H
1
0 (Ω),
on a :
E
Ω (u) ≥
Ω
|∇u|
2 +
Ω
|u|
10/3
− Z
Ω
1
|x|
u
2
≥ ≥∇u
2
L 2 (Ω) + u
10/3
L 10/3 − C
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω)
2(1−α)
L 2 (Ω) .
(2.13)
La fonction (X, Y ) → X
2 +Y
10/3
−aX
2(1−α) Y
2α étant minorée sur IR
+
×IR
+ ,
on aboutit à la même conclusion.
Nous allons enfin donner une quatrième preuve du fait que I
Ω
λ > −∞. Elle est
plus rapide, mais exploite la forme particulière du potentiel coulombien
1
|x|
.
On fait appel à l’inégalité suivante.
Théorème 2.12 (Inégalité de Hardy) Pour tout u ∈ H
1 (IR
3 ), on a
u
|x|
L 2 (I R 3 ) ≤ 2 L 2 (I R 3 ) .
(2.14)
31
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L 3/2 (Bε)
Ω
|∇u|
2 +
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε)
Ω
u
2 .
Il est alors facile, en choisissant ε assez petit, de montrer par exemple que
E
Ω (u) ≥
1
2
Ω
|∇u|
2
− Z
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε) λ,
d’où l’on déduit la borne inférieure recherchée. On notera que, dans cette
preuve, cette borne inférieure n’est pas uniforme en λ.
Dans le cas où la singularité est mieux que L
3/2 , on raisonne un peu différemment. Fixons un réel p dans l’intervalle ]
3
2 ,
5
2 ], désignons par q le réel conjugué,
qui est donc dans [
5
3 , 3[, et bornons le terme d’attraction des noyaux de la façon
suivante :
−
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L p (Ω) u
2
L 2q (Ω)
=
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω) u
2−2α
L 6 (Ω) ,
(2.11)
où l’on a utilisé l’inégalité d’interpolation pour contrôler la norme L
2q en
fonction des normes L
10/3 et L
6 , ceci étant possible pour un certain 0 < α ≤ 1
puisque 2q est inférieur strict à 6, et supérieur à
10
3 . En utilisant maintenant
l’inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, nous obtenons
Ω
1
|x|
u
2
≤ C
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω)
2(1−α)
L 2 (Ω) .
(2.12)
Nous reprenons alors le raisonnement conduisant à l’établissement de la formule (2.6), cette fois en tenant compte du terme en gradient. Pour u ∈ H
1
0 (Ω),
on a :
E
Ω (u) ≥
Ω
|∇u|
2 +
Ω
|u|
10/3
− Z
Ω
1
|x|
u
2
≥ ≥∇u
2
L 2 (Ω) + u
10/3
L 10/3 − C
1
|x|
L p (Ω) u
2α
L 10/3 (Ω)
2(1−α)
L 2 (Ω) .
(2.13)
La fonction (X, Y ) → X
2 +Y
10/3
−aX
2(1−α) Y
2α étant minorée sur IR
+
×IR
+ ,
on aboutit à la même conclusion.
Nous allons enfin donner une quatrième preuve du fait que I
Ω
λ > −∞. Elle est
plus rapide, mais exploite la forme particulière du potentiel coulombien
1
|x|
.
On fait appel à l’inégalité suivante.
Théorème 2.12 (Inégalité de Hardy) Pour tout u ∈ H
1 (IR
3 ), on a
u
|x|
L 2 (I R 3 ) ≤ 2 L 2 (I R 3 ) .
(2.14)