30
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.10 Le fait que H
1 (IR
3 ) s’injecte (de façon continue) dans
L
6 (IR
3 ) a déjà été vu au Théorème 2.2. Ici, le point capital est qu’au membre
de droite de (2.8) figure (L 2 (I R 3 )) 3 et non u H 1 (I R 3 ) , ce qui est mieux !
Remarque 2.11
1. Si Ω est un ouvert de IR
3 , alors le prolongement par zéro en dehors de Ω
d’une fonction de H
1
0 (Ω) est une fonction de H
1 (IR
3 ) (et ce prolongement
définit un opérateur linéaire continu de H
1
0 (Ω) dans H
1 (IR
3 )). L’inégalité
(2.8) est donc vraie sur H
1
0 (Ω). Il est facile d’en déduire que, pour tout
p ∈ [2, 6],
1
p
=
α
2
+
1 − α
6
, il existe une constante C telle que, pour tout
u ∈ H
1
0 (Ω), on a
L p (Ω) ≤ C u
α
L 2 (Ω)
1−α
L 2 (Ω) .
(2.9)
Ceci entraîne (utiliser l’inégalité ab ≤ εa
r + ε
−s/r b
s pour
1
r
+
1
s
= 1) que
pour tout p ∈ [2, 6] et pour tout ε > 0, il existe une constante C ε telle que,
pour tout u ∈ H
1
0 (Ω), on a
L p (Ω) ≤ ε L 2 (Ω) + C ε u L 2 (Ω) .
(2.10)
Bien que (2.8) et (2.9) ne soient pas vraies sur H
1 (Ω) (considérer une
fonction constante non nulle), il est possible de montrer que (2.10) reste
vraie (voir l’Exercice 2.2).
2. Comme pour les autres inégalités ci-dessus, (2.8) est un cas particulier
d’une inégalité beaucoup plus générale.
Munis de ces deux inégalités, nous attaquons notre nouvelle preuve, d’abord
dans un cadre utilisant seulement le fait que la singularité est L
3/2 . La preuve
est alors basée sur la simple observation suivante : si le potentiel d’attraction
du noyau était L
∞ , il n’y aurait pas de difficulté à minorer l’énergie puisqu’on aurait alors −Z
Ω
1
|x|
u
2
≥ −Z
1
|x|
L ∞
Ω
u
2 = −Z
1
|x|
L ∞ λ > −∞.
Malheureusement on ne peut pas faire cette estimation puisque
1
|x| L ∞
n’existe pas à cause de la singularité. Qu’à cela ne tienne ! Si le potentiel
d’attraction explose, il explose seulement sur une petite zone autour de l’origine, et il explose, par exemple, de façon L
3/2
loc . Nous pouvons ainsi écrire que,
en découpant le domaine Ω en une petite boule de rayon ε > 0 centrée autour
de l’origine et son complémentaire dans Ω, que
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L 3/2 (Bε)
Ω
u
6
1/3
+
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε)
Ω
u
2 .
En utilisant alors l’inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, on en déduit
2 Un problème modèle sur un domaine borné
Remarque 2.10 Le fait que H
1 (IR
3 ) s’injecte (de façon continue) dans
L
6 (IR
3 ) a déjà été vu au Théorème 2.2. Ici, le point capital est qu’au membre
de droite de (2.8) figure (L 2 (I R 3 )) 3 et non u H 1 (I R 3 ) , ce qui est mieux !
Remarque 2.11
1. Si Ω est un ouvert de IR
3 , alors le prolongement par zéro en dehors de Ω
d’une fonction de H
1
0 (Ω) est une fonction de H
1 (IR
3 ) (et ce prolongement
définit un opérateur linéaire continu de H
1
0 (Ω) dans H
1 (IR
3 )). L’inégalité
(2.8) est donc vraie sur H
1
0 (Ω). Il est facile d’en déduire que, pour tout
p ∈ [2, 6],
1
p
=
α
2
+
1 − α
6
, il existe une constante C telle que, pour tout
u ∈ H
1
0 (Ω), on a
L p (Ω) ≤ C u
α
L 2 (Ω)
1−α
L 2 (Ω) .
(2.9)
Ceci entraîne (utiliser l’inégalité ab ≤ εa
r + ε
−s/r b
s pour
1
r
+
1
s
= 1) que
pour tout p ∈ [2, 6] et pour tout ε > 0, il existe une constante C ε telle que,
pour tout u ∈ H
1
0 (Ω), on a
L p (Ω) ≤ ε L 2 (Ω) + C ε u L 2 (Ω) .
(2.10)
Bien que (2.8) et (2.9) ne soient pas vraies sur H
1 (Ω) (considérer une
fonction constante non nulle), il est possible de montrer que (2.10) reste
vraie (voir l’Exercice 2.2).
2. Comme pour les autres inégalités ci-dessus, (2.8) est un cas particulier
d’une inégalité beaucoup plus générale.
Munis de ces deux inégalités, nous attaquons notre nouvelle preuve, d’abord
dans un cadre utilisant seulement le fait que la singularité est L
3/2 . La preuve
est alors basée sur la simple observation suivante : si le potentiel d’attraction
du noyau était L
∞ , il n’y aurait pas de difficulté à minorer l’énergie puisqu’on aurait alors −Z
Ω
1
|x|
u
2
≥ −Z
1
|x|
L ∞
Ω
u
2 = −Z
1
|x|
L ∞ λ > −∞.
Malheureusement on ne peut pas faire cette estimation puisque
1
|x| L ∞
n’existe pas à cause de la singularité. Qu’à cela ne tienne ! Si le potentiel
d’attraction explose, il explose seulement sur une petite zone autour de l’origine, et il explose, par exemple, de façon L
3/2
loc . Nous pouvons ainsi écrire que,
en découpant le domaine Ω en une petite boule de rayon ε > 0 centrée autour
de l’origine et son complémentaire dans Ω, que
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L 3/2 (Bε)
Ω
u
6
1/3
+
1
|x|
L ∞ (Ω\Bε)
Ω
u
2 .
En utilisant alors l’inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg, on en déduit