2.2 Préliminaires
29
Remarque 2.6 En fait, on vient de prouver (ce qui n’est pas important pour
l’instant) que I
Ω
λ est bornée inférieurement par une constante qui ne dépend
pas de λ. On verra plus loin qu’on peut en fait montrer que I
Ω
λ est bornée
inférieurement par une constante qui ne dépend pas non plus de Ω.
Dans le petit raisonnement ci-dessus, on utilise seulement le fait que le potentiel électrostatique coulombien
1
|x|
est un potentiel appartenant à L
5/2 (Ω)
quand Ω est borné (noter que
5
2 est le réel conjugué de
5
3 , l’exposant intervenant dans l’énergie cinétique). En réalité, parce qu’on dispose du terme
en gradient en plus du terme en ρ
5/3 , on peut donner une preuve du fait
que l’infimum est fini en utilisant seulement la propriété plus faible que
1
|x|
appartient à L
p (Ω) pour au moins un p ≥
3
2 . Cette preuve pourra donc se
généraliser à des cas plus nombreux. Elle se décline en deux variantes, selon
que la singularité est seulement L
3/2 ou qu’elle est L
p pour un certain p >
3
2 .
On introduit pour cette nouvelle preuve deux inégalités. La première est une
conséquence directe de l’inégalité de Hölder.
Théorème 2.7 (Inégalité d’interpolation) Si p, q et r sont trois réels
dans [1, +∞[ liés par la relation
1
r
=
α
p
+
1 − α
q
pour un certain α ∈ [0, 1],
alors, pour tout u ∈ L
p (Ω) ∩ L
q (Ω), on a u ∈ L
r (Ω) et
L r (Ω) ≤ ≤u
α
L p (Ω) u
(1−α)
L q (Ω) .
Remarque 2.8
1. La preuve de cette inégalité à partir de celle de Hölder est simple : on applique l’inégalité de Hölder à |u|
rα et |u|
r(1−α) pour les exposants conjugués
p
rα
et
q
r(1 − α)
.
2. On comprend pourquoi cette inégalité porte le nom d’inégalité d’interpolation : il s’agit de contrôler la norme L
r en interpolant
1
r
entre
1
p
et
1
q
.
La seconde est plus difficile :
Théorème 2.9 (Inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg)
Il existe une constante C telle que, pour toute fonction u ∈ H
1 (IR
3 ), on ait
L 6 (I R 3 ) ≤ C (L 2 (I R 3 )) 3 .
(2.8)
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Remarque 2.6 En fait, on vient de prouver (ce qui n’est pas important pour
l’instant) que I
Ω
λ est bornée inférieurement par une constante qui ne dépend
pas de λ. On verra plus loin qu’on peut en fait montrer que I
Ω
λ est bornée
inférieurement par une constante qui ne dépend pas non plus de Ω.
Dans le petit raisonnement ci-dessus, on utilise seulement le fait que le potentiel électrostatique coulombien
1
|x|
est un potentiel appartenant à L
5/2 (Ω)
quand Ω est borné (noter que
5
2 est le réel conjugué de
5
3 , l’exposant intervenant dans l’énergie cinétique). En réalité, parce qu’on dispose du terme
en gradient en plus du terme en ρ
5/3 , on peut donner une preuve du fait
que l’infimum est fini en utilisant seulement la propriété plus faible que
1
|x|
appartient à L
p (Ω) pour au moins un p ≥
3
2 . Cette preuve pourra donc se
généraliser à des cas plus nombreux. Elle se décline en deux variantes, selon
que la singularité est seulement L
3/2 ou qu’elle est L
p pour un certain p >
3
2 .
On introduit pour cette nouvelle preuve deux inégalités. La première est une
conséquence directe de l’inégalité de Hölder.
Théorème 2.7 (Inégalité d’interpolation) Si p, q et r sont trois réels
dans [1, +∞[ liés par la relation
1
r
=
α
p
+
1 − α
q
pour un certain α ∈ [0, 1],
alors, pour tout u ∈ L
p (Ω) ∩ L
q (Ω), on a u ∈ L
r (Ω) et
L r (Ω) ≤ ≤u
α
L p (Ω) u
(1−α)
L q (Ω) .
Remarque 2.8
1. La preuve de cette inégalité à partir de celle de Hölder est simple : on applique l’inégalité de Hölder à |u|
rα et |u|
r(1−α) pour les exposants conjugués
p
rα
et
q
r(1 − α)
.
2. On comprend pourquoi cette inégalité porte le nom d’inégalité d’interpolation : il s’agit de contrôler la norme L
r en interpolant
1
r
entre
1
p
et
1
q
.
La seconde est plus difficile :
Théorème 2.9 (Inégalité de Sobolev-Gagliardo-Nirenberg)
Il existe une constante C telle que, pour toute fonction u ∈ H
1 (IR
3 ), on ait
L 6 (I R 3 ) ≤ C (L 2 (I R 3 )) 3 .
(2.8)