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2 Un problème modèle sur un domaine borné
En attendant, nous avons prouvé que tous les termes de l’énergie E
Ω (u)
étaient bien définis pour u ∈ H
1 (Ω).
Montrons maintenant que l’infimum I
Ω
λ est fini.
2.2.2 La borne inférieure est finie
Nous allons tout d’abord rappeler une inégalité essentielle.
Théorème 2.4 (Inégalité de Hölder) Soit Ω un ouvert (non nécessairement borné) de IR
N , et soient p et q deux éléments de l’intervalle [1, +∞]
tels que
1
p +
1
q = 1 (p et q sont alors dits conjugués). Pour tout couple
(u, v) ∈ L
p (Ω) × L
q (Ω), on a uv ∈ L
1 (Ω) et
uv L 1 (Ω) ≤ ≤u L p (Ω) v L q (Ω) .
Remarque 2.5 Noter que pour p = q = 2, on retrouve l’inégalité de CauchySchwarz.
Pour prouver que la borne inférieure I
Ω
λ n’est pas −∞, il s’agit de s’intéresser
aux termes négatifs de E
Ω , et dans notre cas il n’y en a qu’un, à savoir le terme
−Z
Ω
1
|x|
u
2 . Pour contrôler ce terme, plusieurs stratégies sont possibles. Une
stratégie consiste à utiliser l’inégalité de Hölder pour p =
5
2 et q =
5
3 :
−
Ω
1
|x|
u
2
≤ ≤
1
|x|
L 5/2 (Ω) u
2
L 5/3 (Ω)
=
1
|x|
L 5/2 (Ω) u
2
L 10/3 (Ω) .
(2.5)
Remarquons maintenant qu’en oubliant à bon droit des termes positifs dans
l’énergie, on peut écrire, que pour tout u ∈ H
1 (Ω), on a
E
Ω (u) ≥
Ω
|u|
10/3
− Z
Ω
1
|x|
u
2
(2.6)
≥ ≥u
10/3
L 10/3 − Z
1
|x|
L 5/2 (Ω) u
2
L 10/3 (Ω) .
(2.7)
On fait alors l’observation suivante. Le membre de droite de (2.7) est une
fonction de la forme X → |X|
10/3
− aX
2 où X est une variable muette qui
a remplacé u L 10/3 , et a un coefficient réel (positif). Une telle fonction est
clairement minorée sur IR, par une constante −C qui dépend de a. On peut
donc écrire que pour tout u ∈ H
1 (Ω), on a
E
Ω (u) ≥ −C,
ce qui montre que la borne inférieure I
Ω
λ est finie.