2.2 Préliminaires
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simple est la suivante. On commence par remarquer que, en dimension 3, la
singularité
1
|x| α est intégrable localement pour tout α < 3 puisque :
|x|≤1
1
|x| α dx = 4π
1
0
r
2−α dr.
On en déduit que la fonction x →
1
|x| appartient à L
p (Ω) pour tout 1 ≤ p < 3
et donc en particulier à L
2 (Ω). De son côté, la fonction u arbitraire dans
H
1 (Ω) appartient à L
4 (Ω) en vertu des injections de Sobolev ci-dessus (on a
bien 1 ≤ 4 ≤ 6). On peut donc bien écrire le produit scalaire dans L
2 (Ω) de
1
|x|
et de u
2 , ce qui donne un sens au terme
Ω
1
|x|
u
2 .
Terminons par le terme
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(2.4)
Il est d’abord possible de montrer “à la main” qu’il est bien défini, et ce
de la façon suivante. Pour x fixé dans Ω, la quantité
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy est bien
définie, précisément en vertu du raisonnement fait ci-dessus pour montrer
que le terme
Ω
1
|x|
u
2 l’était. C’est le produit scalaire dans L
2 (Ω) de deux
fonctions de L
2 (Ω). De plus, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il est facile
de voir qu’il existe une constante C Ω dépendant de Ω (prendre par exemple
C Ω =
B(0,RΩ )
1
|x| 2 dx
1/2
, où R Ω désigne le diamètre de Ω et B(0, R Ω ) la
boule de centre 0 et de rayon R Ω ), telle que
∀x ∈ Ω,
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy ≤ C Ω
Ω
u
4 (y)dy
1/2
.
La fonction x →
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy étant continue (encore à cause de l’inégalité
de Cauchy-Schwarz, c’est un bon exercice que nous laissons au lecteur, voir
Exercice 2.1), on en déduit que cette fonction est uniformément bornée sur
Ω, et donc en particulier que c’est une fonction de L
2 (Ω) (en fait on peut se
contenter de dire que c’est une fonction L
∞ donc de classe L
2 ). On peut donc
considérer son produit scalaire L
2 avec une autre fonction de L
2 (Ω), à savoir
u
2 , ce qui donne un sens à (2.4).
La preuve un peu laborieuse ci-dessus présente l’avantage de ne faire usage
d’aucune notion nouvelle. En revanche, elle n’est pas très “parlante”, et ne
pourra pas se généraliser aux cas beaucoup plus complexes que nous considérerons par la suite. Nous indiquerons plus loin une manière plus élégante de
procéder.
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simple est la suivante. On commence par remarquer que, en dimension 3, la
singularité
1
|x| α est intégrable localement pour tout α < 3 puisque :
|x|≤1
1
|x| α dx = 4π
1
0
r
2−α dr.
On en déduit que la fonction x →
1
|x| appartient à L
p (Ω) pour tout 1 ≤ p < 3
et donc en particulier à L
2 (Ω). De son côté, la fonction u arbitraire dans
H
1 (Ω) appartient à L
4 (Ω) en vertu des injections de Sobolev ci-dessus (on a
bien 1 ≤ 4 ≤ 6). On peut donc bien écrire le produit scalaire dans L
2 (Ω) de
1
|x|
et de u
2 , ce qui donne un sens au terme
Ω
1
|x|
u
2 .
Terminons par le terme
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(2.4)
Il est d’abord possible de montrer “à la main” qu’il est bien défini, et ce
de la façon suivante. Pour x fixé dans Ω, la quantité
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy est bien
définie, précisément en vertu du raisonnement fait ci-dessus pour montrer
que le terme
Ω
1
|x|
u
2 l’était. C’est le produit scalaire dans L
2 (Ω) de deux
fonctions de L
2 (Ω). De plus, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il est facile
de voir qu’il existe une constante C Ω dépendant de Ω (prendre par exemple
C Ω =
B(0,RΩ )
1
|x| 2 dx
1/2
, où R Ω désigne le diamètre de Ω et B(0, R Ω ) la
boule de centre 0 et de rayon R Ω ), telle que
∀x ∈ Ω,
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy ≤ C Ω
Ω
u
4 (y)dy
1/2
.
La fonction x →
Ω
u
2 (y)
|x − y|
dy étant continue (encore à cause de l’inégalité
de Cauchy-Schwarz, c’est un bon exercice que nous laissons au lecteur, voir
Exercice 2.1), on en déduit que cette fonction est uniformément bornée sur
Ω, et donc en particulier que c’est une fonction de L
2 (Ω) (en fait on peut se
contenter de dire que c’est une fonction L
∞ donc de classe L
2 ). On peut donc
considérer son produit scalaire L
2 avec une autre fonction de L
2 (Ω), à savoir
u
2 , ce qui donne un sens à (2.4).
La preuve un peu laborieuse ci-dessus présente l’avantage de ne faire usage
d’aucune notion nouvelle. En revanche, elle n’est pas très “parlante”, et ne
pourra pas se généraliser aux cas beaucoup plus complexes que nous considérerons par la suite. Nous indiquerons plus loin une manière plus élégante de
procéder.