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2 Un problème modèle sur un domaine borné
des termes et sur les unités employées sont valables pour tous les modèles que
nous étudierons dans ce cours, et on ne les rappelera pas dans la suite.
Regardons maintenant le problème (2.2) avec un œil mathématique.
2.2 Préliminaires
La première chose à prouver est que ce problème est bien défini, au sens où tous
les termes de l’énergie E
Ω (u) prennent bien un sens pour un u arbitraire dans
H
1
0 (Ω) (on pourrait aussi bien travailler sur H
1 (Ω), se reporter à l’Exercice
2.10 que l’on fera après la lecture complète de ce chapitre).
2.2.1 Le problème est bien défini
Il est clair que le premier terme
Ω
|∇u|
2 est bien défini, c’est même pour lui
donner un sens que l’on a choisi de travailler avec des fonctions H
1 .
Regardons maintenant le terme
Ω
|u|
10/3 . On ne sait pas a priori que u est
une fonction de L
10/3 (Ω). Pourtant, c’est bien le cas, en raison du résultat
suivant
Théorème 2.2 Injections continues de Sobolev en dimension 3 Soit
Ω = IR
3 , Ω = IR
2
×]0, +∞[, ou Ω un ouvert borné de classe C
1 de IR
3 . Alors
l’espace H
1 (Ω) s’injecte de façon continue dans L
p (Ω) pour tout p ∈ [2, 6].
En d’autres termes, pour tout p ∈ [2, 6], il existe une constante C telle que
∀u ∈ H
1 (Ω),
u L p (Ω) ≤ Cu H 1 (Ω) .
Remarque 2.3
1. Ce théorème est en fait un cas particulier d’un résultat plus général concernant une dimension d’espace arbitraire N . Nous verrons au Théorème 2.29
une extension de ce résultat.
2. La constante C peut en fait être choisie indépendante de p ∈ [2, 6] et de
Ω.
3. Si Ω est borné, alors le résultat est vrai pour tout p ∈ [1, 6], et on verra
à la section suivante (Théorème 2.24) qu’en fait l’injection est, sous une
hypothèse restrictive sur p, beaucoup mieux que continue.
Venons-en au terme
Ω
1
|x|
u
2 . Il existe plusieurs façons de montrer que ce
terme est bien défini pour une fonction u de classe H
1 . La façon la plus
2 Un problème modèle sur un domaine borné
des termes et sur les unités employées sont valables pour tous les modèles que
nous étudierons dans ce cours, et on ne les rappelera pas dans la suite.
Regardons maintenant le problème (2.2) avec un œil mathématique.
2.2 Préliminaires
La première chose à prouver est que ce problème est bien défini, au sens où tous
les termes de l’énergie E
Ω (u) prennent bien un sens pour un u arbitraire dans
H
1
0 (Ω) (on pourrait aussi bien travailler sur H
1 (Ω), se reporter à l’Exercice
2.10 que l’on fera après la lecture complète de ce chapitre).
2.2.1 Le problème est bien défini
Il est clair que le premier terme
Ω
|∇u|
2 est bien défini, c’est même pour lui
donner un sens que l’on a choisi de travailler avec des fonctions H
1 .
Regardons maintenant le terme
Ω
|u|
10/3 . On ne sait pas a priori que u est
une fonction de L
10/3 (Ω). Pourtant, c’est bien le cas, en raison du résultat
suivant
Théorème 2.2 Injections continues de Sobolev en dimension 3 Soit
Ω = IR
3 , Ω = IR
2
×]0, +∞[, ou Ω un ouvert borné de classe C
1 de IR
3 . Alors
l’espace H
1 (Ω) s’injecte de façon continue dans L
p (Ω) pour tout p ∈ [2, 6].
En d’autres termes, pour tout p ∈ [2, 6], il existe une constante C telle que
∀u ∈ H
1 (Ω),
u L p (Ω) ≤ Cu H 1 (Ω) .
Remarque 2.3
1. Ce théorème est en fait un cas particulier d’un résultat plus général concernant une dimension d’espace arbitraire N . Nous verrons au Théorème 2.29
une extension de ce résultat.
2. La constante C peut en fait être choisie indépendante de p ∈ [2, 6] et de
Ω.
3. Si Ω est borné, alors le résultat est vrai pour tout p ∈ [1, 6], et on verra
à la section suivante (Théorème 2.24) qu’en fait l’injection est, sous une
hypothèse restrictive sur p, beaucoup mieux que continue.
Venons-en au terme
Ω
1
|x|
u
2 . Il existe plusieurs façons de montrer que ce
terme est bien défini pour une fonction u de classe H
1 . La façon la plus