2.1 Présentation du modèle
25
L’objectif de ce chapitre est de montrer que ce problème de minimisation
admet un minimiseur, lequel est unique au signe près.
Nous allons vérifier plus bas que ce problème de minimisation est correctement posé, mais attardons-nous une minute sur la signification physique de
ce problème.
En posant ρ = u
2 , on peut interpréter le problème (2.2) comme un modèle de
type Thomas-Fermi-von Weizsäcker pour un atome. Nous avons brièvement
introduit ce modèle au Chapitre 1 et donné ses origines physiques. La fonction ρ est la densité électronique, que nous contraignons ici à être supportée
dans Ω (contrairement à la “vraie” densité qui, elle, est à support sur l’espace IR
3 tout entier). L’intégrale
Ω
ρ, qui dans (2.2) vaut λ, est le nombre
total d’électrons du système moléculaire étudié. En pratique, λ est donc un
nombre entier, mais pour des raisons mathématiques qui deviendront claires
dans le chapitre suivant, il est commode de considérer le problème (2.2) pour
tout λ > 0 réel. La fonctionnelle E
Ω modélise l’énergie du cortège électronique de densité ρ = u
2 . Le terme −
Ω
Z
|x|
u
2 représente l’energie potentielle
associée à l’attraction coulombienne créée par un noyau de charge Z placé à
l’origine. On indique d’ores et déjà que les résultats que nous allons établir
sur ce cas atomique sont (à l’exception de ceux de la Section 2.4.4) valables
pour le cas d’une molécule, c’est-à-dire le cas où −
Ω
Z
|x|
u
2 est remplacé par
−
K
k=1
Ω
z k
|x − ¯
x k |
u
2 avec
K
k=1
z k = Z. La section 2.5 reviendra sur ce point. Le
terme
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy est une évaluation de l’énergie de répulsion
électrostatique des électrons entre eux. En fait, cette évaluation est une évaluation par excès, nous reviendrons plus tard sur ce point ; noter simplement
ici que dans un modèle aussi grossier, un électron se repousse lui-même ! Les
deux termes de E
Ω restant sont des termes modélisant l’énergie cinétique des
électrons. D’abord, le terme
Ω
ρ
5/3 est un terme issu de la théorie cinétique
des gaz. Au premier ordre, il modélise l’énergie cinétique des électrons par
celle d’un gaz homogène uniforme d’électrons. Pour affiner cette approximation, on adjoint au terme en
Ω
ρ
5/3 un terme correctif de type
Ω
|∇u|
2 (bien
noter que c’est le terme en gradient qui est un terme correctif du terme en
ρ
5/3 et non l’inverse). Devant ces deux termes, il y a en fait des coefficients
positifs, qui peuvent dépendre du système moléculaire étudié. D’un point de
vue mathématique, tout se passe comme si ces coefficients valaient 1. De
même, on se place pour les termes électrostatiques dans des unités telles que
la charge de l’électron vaut 1. Ces remarques sur les coefficients multiplicatifs
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L’objectif de ce chapitre est de montrer que ce problème de minimisation
admet un minimiseur, lequel est unique au signe près.
Nous allons vérifier plus bas que ce problème de minimisation est correctement posé, mais attardons-nous une minute sur la signification physique de
ce problème.
En posant ρ = u
2 , on peut interpréter le problème (2.2) comme un modèle de
type Thomas-Fermi-von Weizsäcker pour un atome. Nous avons brièvement
introduit ce modèle au Chapitre 1 et donné ses origines physiques. La fonction ρ est la densité électronique, que nous contraignons ici à être supportée
dans Ω (contrairement à la “vraie” densité qui, elle, est à support sur l’espace IR
3 tout entier). L’intégrale
Ω
ρ, qui dans (2.2) vaut λ, est le nombre
total d’électrons du système moléculaire étudié. En pratique, λ est donc un
nombre entier, mais pour des raisons mathématiques qui deviendront claires
dans le chapitre suivant, il est commode de considérer le problème (2.2) pour
tout λ > 0 réel. La fonctionnelle E
Ω modélise l’énergie du cortège électronique de densité ρ = u
2 . Le terme −
Ω
Z
|x|
u
2 représente l’energie potentielle
associée à l’attraction coulombienne créée par un noyau de charge Z placé à
l’origine. On indique d’ores et déjà que les résultats que nous allons établir
sur ce cas atomique sont (à l’exception de ceux de la Section 2.4.4) valables
pour le cas d’une molécule, c’est-à-dire le cas où −
Ω
Z
|x|
u
2 est remplacé par
−
K
k=1
Ω
z k
|x − ¯
x k |
u
2 avec
K
k=1
z k = Z. La section 2.5 reviendra sur ce point. Le
terme
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy est une évaluation de l’énergie de répulsion
électrostatique des électrons entre eux. En fait, cette évaluation est une évaluation par excès, nous reviendrons plus tard sur ce point ; noter simplement
ici que dans un modèle aussi grossier, un électron se repousse lui-même ! Les
deux termes de E
Ω restant sont des termes modélisant l’énergie cinétique des
électrons. D’abord, le terme
Ω
ρ
5/3 est un terme issu de la théorie cinétique
des gaz. Au premier ordre, il modélise l’énergie cinétique des électrons par
celle d’un gaz homogène uniforme d’électrons. Pour affiner cette approximation, on adjoint au terme en
Ω
ρ
5/3 un terme correctif de type
Ω
|∇u|
2 (bien
noter que c’est le terme en gradient qui est un terme correctif du terme en
ρ
5/3 et non l’inverse). Devant ces deux termes, il y a en fait des coefficients
positifs, qui peuvent dépendre du système moléculaire étudié. D’un point de
vue mathématique, tout se passe comme si ces coefficients valaient 1. De
même, on se place pour les termes électrostatiques dans des unités telles que
la charge de l’électron vaut 1. Ces remarques sur les coefficients multiplicatifs