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2 Un problème modèle sur un domaine borné
2.1 Présentation du modèle
Soit Ω un ouvert borné de IR
3 , dont nous supposons la frontière raisonnablement régulière. Nous ne souhaitons pas nous étendre sur cette régularité,
puisque la frontière est appelée à disparaître dans les chapitres ultérieurs. Disons un peu cavalièrement que la régularité de l’ouvert Ω est celle qui permet
d’établir tous les résultats usuels d’analyse fonctionnelle et de théorie des équations aux dérivées partielles (essentiellement les Théorèmes 2.2, 2.24, 2.29 et
2.31) que l’on va citer plus bas. Elle sera précisée lorsque cela sera nécessaire.
De toute façon, pour les aspects qui nous intéressent, on pourrait très bien se
restreindre au cas d’une boule.
Sur cet ouvert, nous considérons l’espace de Sobolev H
1 (Ω) des fonctions de
carré intégrable dont le gradient est aussi de carré intégrable :
H
1 (Ω) =
u ∈ L
2 (Ω), ∇u ∈
L
2 (Ω)
3
,
H 1 (Ω) =
2
L 2 (Ω) +
2
L 2 (Ω)
1/2
,
et plus précisément celles des fonctions de H
1 (Ω) qui sont nulles au bord ∂Ω
du domaine Ω, à savoir celles qui forment l’espace
H
1
0 (Ω) =
u ∈ H
1 (Ω), u| ∂Ω = 0
.
(2.1)
Remarque 2.1 Cette définition (2.1) exploite le fait que nous travaillons
avec un ouvert régulier (la régularité du bord permet de définir la trace u| ∂Ω
de la fonction u ∈ H
1 (Ω)). En toute généralité, rappelons ici que l’on peut
aussi définir les espaces H
1 (Ω) et H
1
0 (Ω) comme suit. L’espace H
1 (Ω) est
l’adhérence pour la norme H
1 de l’espace C
∞ ( ¯
Ω) des fonctions de classe C
∞
dans ¯
Ω. Quant à H
1
0 (Ω), c’est l’adhérence, toujours pour la norme H
1 , cette
fois de l’espace C
∞
0 (Ω) des fonctions de classe C
∞ à support compact dans Ω
(i.e. nulles près du bord). On notera qu’en particulier C
∞
0 (Ω) est dense dans
H
1
0 (Ω) pour la norme H
1 , et est dense dans H
1 (Ω) pour la norme L
2 . Cette
définition de H
1
0 (Ω) ne requiert pas la régularité du bord du domaine.
Quitte à le translater, nous supposons désormais que le domaine Ω contient 0,
l’origine de l’espace.
Pour un paramètre λ > 0 fixé, nous introduisons maintenant le problème de
minimisation suivant
I
Ω
λ = inf
E
Ω (u), u ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
|u|
2 = λ
,
(2.2)
E
Ω (u) =
Ω
|∇u|
2
−
Ω
Z
|x|
u
2 +
Ω
|u|
10/3
+
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(2.3)
2 Un problème modèle sur un domaine borné
2.1 Présentation du modèle
Soit Ω un ouvert borné de IR
3 , dont nous supposons la frontière raisonnablement régulière. Nous ne souhaitons pas nous étendre sur cette régularité,
puisque la frontière est appelée à disparaître dans les chapitres ultérieurs. Disons un peu cavalièrement que la régularité de l’ouvert Ω est celle qui permet
d’établir tous les résultats usuels d’analyse fonctionnelle et de théorie des équations aux dérivées partielles (essentiellement les Théorèmes 2.2, 2.24, 2.29 et
2.31) que l’on va citer plus bas. Elle sera précisée lorsque cela sera nécessaire.
De toute façon, pour les aspects qui nous intéressent, on pourrait très bien se
restreindre au cas d’une boule.
Sur cet ouvert, nous considérons l’espace de Sobolev H
1 (Ω) des fonctions de
carré intégrable dont le gradient est aussi de carré intégrable :
H
1 (Ω) =
u ∈ L
2 (Ω), ∇u ∈
L
2 (Ω)
3
,
H 1 (Ω) =
2
L 2 (Ω) +
2
L 2 (Ω)
1/2
,
et plus précisément celles des fonctions de H
1 (Ω) qui sont nulles au bord ∂Ω
du domaine Ω, à savoir celles qui forment l’espace
H
1
0 (Ω) =
u ∈ H
1 (Ω), u| ∂Ω = 0
.
(2.1)
Remarque 2.1 Cette définition (2.1) exploite le fait que nous travaillons
avec un ouvert régulier (la régularité du bord permet de définir la trace u| ∂Ω
de la fonction u ∈ H
1 (Ω)). En toute généralité, rappelons ici que l’on peut
aussi définir les espaces H
1 (Ω) et H
1
0 (Ω) comme suit. L’espace H
1 (Ω) est
l’adhérence pour la norme H
1 de l’espace C
∞ ( ¯
Ω) des fonctions de classe C
∞
dans ¯
Ω. Quant à H
1
0 (Ω), c’est l’adhérence, toujours pour la norme H
1 , cette
fois de l’espace C
∞
0 (Ω) des fonctions de classe C
∞ à support compact dans Ω
(i.e. nulles près du bord). On notera qu’en particulier C
∞
0 (Ω) est dense dans
H
1
0 (Ω) pour la norme H
1 , et est dense dans H
1 (Ω) pour la norme L
2 . Cette
définition de H
1
0 (Ω) ne requiert pas la régularité du bord du domaine.
Quitte à le translater, nous supposons désormais que le domaine Ω contient 0,
l’origine de l’espace.
Pour un paramètre λ > 0 fixé, nous introduisons maintenant le problème de
minimisation suivant
I
Ω
λ = inf
E
Ω (u), u ∈ H
1
0 (Ω),
Ω
|u|
2 = λ
,
(2.2)
E
Ω (u) =
Ω
|∇u|
2
−
Ω
Z
|x|
u
2 +
Ω
|u|
10/3
+
1
2
Ω×Ω
u
2 (x)u
2 (y)
|x − y|
dx dy.
(2.3)