2
Un problème modèle sur un domaine borné
Comme annoncé ci-dessus, nous allons commencer par l’étude d’un problème
modèle sur un ouvert borné de IR
3 . Nous expliquerons ainsi pourquoi les problèmes réels que nous rencontrerons dans la suite sont appelés localement
compacts : en les restreignant à des ouverts bornés, ils deviennent (assez)
faciles à traiter par des techniques de calcul variationnel standard.
A l’abord de ce chapitre, nous considérons comme connues et maîtrisées les
notions suivantes : le calcul différentiel sur les espaces vectoriels normés, les
bases de la théorie de la mesure et de l’intégration (notamment la définition
des espaces L
p , 1 ≤ p ≤ +∞), la théorie des distributions.
Pour un “professionnel” de l’Analyse, un traitement direct du problème que
nous allons considérer dans ce chapitre prendrait une ou deux pages. Ici, nous
allons aborder ces questions très progressivement et en faisant un certain
nombres de digressions, dans le but d’amasser le plus grand nombre possible
de notions, de résultats, de techniques, car tous nous seront utiles dans les
chapitres suivants. La longueur de ce chapitre n’est donc pas représentative
de la difficulté du cas traité : nous “capitalisons” pour l’avenir.
Avertissement important : Dans la collecte de résultats d’analyse fonctionnelle que nous menons ici, aussi bien que dans les chapitres suivants, nous
nous fixons la règle suivante. Nous formulons ces résultats dans l’espace IR
3
(car c’est l’espace physique), même si la plupart d’entre eux admettent une
généralisation à IR
N . De plus, nous nous plaçons souvent dans des hypothèses
plus fortes que nécessaire. Les extensions à des cas plus généraux, ainsi que les
raffinements éventuels sont indiqués en remarque. Nous ne donnerons la plupart du temps aucune preuve de ces résultats qui sont des “grands classiques”
de l’Analyse. Nous présenterons simplement l’idée maîtresse de la démonstration ; des preuves dans des cas simples feront l’objet d’exercices. Quoi qu’il
en soit, tout le matériau pour les preuves, extensions, raffinements, peut être
consulté dans les références indiquées en fin de chapitre.
Un problème modèle sur un domaine borné
Comme annoncé ci-dessus, nous allons commencer par l’étude d’un problème
modèle sur un ouvert borné de IR
3 . Nous expliquerons ainsi pourquoi les problèmes réels que nous rencontrerons dans la suite sont appelés localement
compacts : en les restreignant à des ouverts bornés, ils deviennent (assez)
faciles à traiter par des techniques de calcul variationnel standard.
A l’abord de ce chapitre, nous considérons comme connues et maîtrisées les
notions suivantes : le calcul différentiel sur les espaces vectoriels normés, les
bases de la théorie de la mesure et de l’intégration (notamment la définition
des espaces L
p , 1 ≤ p ≤ +∞), la théorie des distributions.
Pour un “professionnel” de l’Analyse, un traitement direct du problème que
nous allons considérer dans ce chapitre prendrait une ou deux pages. Ici, nous
allons aborder ces questions très progressivement et en faisant un certain
nombres de digressions, dans le but d’amasser le plus grand nombre possible
de notions, de résultats, de techniques, car tous nous seront utiles dans les
chapitres suivants. La longueur de ce chapitre n’est donc pas représentative
de la difficulté du cas traité : nous “capitalisons” pour l’avenir.
Avertissement important : Dans la collecte de résultats d’analyse fonctionnelle que nous menons ici, aussi bien que dans les chapitres suivants, nous
nous fixons la règle suivante. Nous formulons ces résultats dans l’espace IR
3
(car c’est l’espace physique), même si la plupart d’entre eux admettent une
généralisation à IR
N . De plus, nous nous plaçons souvent dans des hypothèses
plus fortes que nécessaire. Les extensions à des cas plus généraux, ainsi que les
raffinements éventuels sont indiqués en remarque. Nous ne donnerons la plupart du temps aucune preuve de ces résultats qui sont des “grands classiques”
de l’Analyse. Nous présenterons simplement l’idée maîtresse de la démonstration ; des preuves dans des cas simples feront l’objet d’exercices. Quoi qu’il
en soit, tout le matériau pour les preuves, extensions, raffinements, peut être
consulté dans les références indiquées en fin de chapitre.