22
1 Présentation succincte des modèles
2. Montrer que
e ,
−
1
2
∆ x1 −
1
2
∆ x2 + V (x 1 ) + V (x 2 )
ψ e
=
1
2
I R 3
|∇φ 1 |
2 +
1
2
I R 3
|∇φ 2 |
2 +
I R 3
|φ 1 |
2 V +
I R 3
|φ 2 |
2 V
=
1
2
I R 3
|∇φ 1 |
2 +
1
2
I R 3
|∇φ 2 |
2 +
I R 3
ρ Φ V.
3. Montrer que
e ,
1
|x 1 − x 2 |
ψ e =
1
2
I R 3
I R 3
2
i=1 |φ i (x)|
2
2
i=1 |φ i (x
)|
2
|x − x |
dx dx
−
1
2
I R 3
I R 3
2
i=1 φ i (x)φ i (x
)
2
|x − x |
dx dx
=
1
2
I R 3
I R 3
ρ Φ (x) ρ Φ (x
)
|x − x |
dx dx
−
1
2
I R 3
I R 3
|τ Φ (x, x
)|
2
|x − x |
dx dx
.
4. En déduire l’équivalence des problèmes (1.7) et (1.13).
5. Démontrer la deuxième égalité dans (1.14) et en déduire que le problème
(1.15) est équivalent aux problèmes (1.7) et (1.13).
Exercice 1.2 Ecrire le problème de la recherche du fondamental de la molécule d’hydrogène H 2 sous l’approximation de Born-Oppenheimer (on rappelle
que la molécule H 2 comprend deux noyaux identiques de charges z = 1 et
deux électrons). Donner les approximations Restricted Hartree-Fock et Unrestricted Hartree-Fock du problème électronique correspondant.