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B Introduction à la théorie spectrale
Théorème B.24 Soit V = V 1 + V 2 tel que V 1 ≥ 0, V 1 ∈ L
1
loc (IR
3 ), et V 2 ∈
L
∞ (IR
3 ) + L
3/2 (IR
3 ). Alors l’infimum du spectre de l’opérateur H = −∆ + V
vérifie l’une des deux propriétés suivantes :
• soit il n’est pas une valeur propre
• soit c’est une valeur propre de multiplicité égale à un.
Dans le cas où il s’agit d’une valeur propre, qui est donc notée λ 1 , on sait
alors qu’il existe un ψ de norme unité tel que
I R 3
|∇ψ|
2 +
I R 3
V ψ
2 = inf
I R 3
ϕ 2 =1
I R 3
|∇ϕ|
2 +
I R 3
V ϕ
2 .
(B.27)
En changeant au besoin ψ en |ψ|, ce qui laisse invariant le membre de gauche,
on peut donc toujours supposer que ψ ≥ 0. L’inégalité de Harnack, que l’on
peut par exemple appliquer dès que le potentiel est L
3/2
loc (IR
3 ) nous permet
alors d’affirmer que ψ > 0. En fait, comme annoncé, cette dernière propriété
caractérise la première fonction propre, au sens suivant
Théorème B.25 Soit V un potentiel tel que V − ∈ L
3/2 (IR
3 ) et V + ∈
L
1
loc (IR
3 ) vérifiant mes
x ∈ IR
3 , V + (x) ≥ δ
< +∞ pour tout δ > 0. Supposons que λ > 0 et ψ ∈ L
2 (IR
3 ), ψ > 0 vérifient −∆ψ + V ψ = −λψ. Alors
−λ et ψ sont respectivement la première valeur propre et la première fonction
propre de −∆ + V .
Remarque B.26 Evidemment, de nombreuses variantes de ces deux théorèmes sont possibles. Sous cette forme, ils suffisent par exemple à régler le cas
du potentiel −
1
|x|
.
B.6 Autres compléments
Dans les sections ci-dessus, nous nous sommes en fait consacrés le plus souvent au cas de potentiels tendant vers une limite donnée (par exemple vers 0)
à l’infini. Evidemment, ceci est le cas de la plupart des potentiels qui apparaîtront dans les modèles moléculaires de champ moyen (type Hartree-Fock
et Kohn-Sham), et donc les éléments de théorie développés ci-dessus nous
suffiront. Cependant, il existe des cas d’intérêt crucial qui n’obéissent pas à
cette propriété. Citons en deux. Il faut savoir, pour ces deux exemples, comme
pour l’ensemble des cas où le potentiel V ne tend pas vers 0 à l’infini que la
situation est alors beaucoup plus compliquée que la situation “simple” du cas
où le potentiel tend effectivement vers 0 à l’infini.
Le premier cas est celui de l’hamiltonien à N corps
H N = −
1
2
N
i=1
∆ xi +
N
i=1
V (x i ) +
1
2
N
i=1
N
j=1,j =i
W (x i − x j ),
(B.28)
où le potentiel W est typiquement le potentiel coulombien.
B Introduction à la théorie spectrale
Théorème B.24 Soit V = V 1 + V 2 tel que V 1 ≥ 0, V 1 ∈ L
1
loc (IR
3 ), et V 2 ∈
L
∞ (IR
3 ) + L
3/2 (IR
3 ). Alors l’infimum du spectre de l’opérateur H = −∆ + V
vérifie l’une des deux propriétés suivantes :
• soit il n’est pas une valeur propre
• soit c’est une valeur propre de multiplicité égale à un.
Dans le cas où il s’agit d’une valeur propre, qui est donc notée λ 1 , on sait
alors qu’il existe un ψ de norme unité tel que
I R 3
|∇ψ|
2 +
I R 3
V ψ
2 = inf
I R 3
ϕ 2 =1
I R 3
|∇ϕ|
2 +
I R 3
V ϕ
2 .
(B.27)
En changeant au besoin ψ en |ψ|, ce qui laisse invariant le membre de gauche,
on peut donc toujours supposer que ψ ≥ 0. L’inégalité de Harnack, que l’on
peut par exemple appliquer dès que le potentiel est L
3/2
loc (IR
3 ) nous permet
alors d’affirmer que ψ > 0. En fait, comme annoncé, cette dernière propriété
caractérise la première fonction propre, au sens suivant
Théorème B.25 Soit V un potentiel tel que V − ∈ L
3/2 (IR
3 ) et V + ∈
L
1
loc (IR
3 ) vérifiant mes
x ∈ IR
3 , V + (x) ≥ δ
< +∞ pour tout δ > 0. Supposons que λ > 0 et ψ ∈ L
2 (IR
3 ), ψ > 0 vérifient −∆ψ + V ψ = −λψ. Alors
−λ et ψ sont respectivement la première valeur propre et la première fonction
propre de −∆ + V .
Remarque B.26 Evidemment, de nombreuses variantes de ces deux théorèmes sont possibles. Sous cette forme, ils suffisent par exemple à régler le cas
du potentiel −
1
|x|
.
B.6 Autres compléments
Dans les sections ci-dessus, nous nous sommes en fait consacrés le plus souvent au cas de potentiels tendant vers une limite donnée (par exemple vers 0)
à l’infini. Evidemment, ceci est le cas de la plupart des potentiels qui apparaîtront dans les modèles moléculaires de champ moyen (type Hartree-Fock
et Kohn-Sham), et donc les éléments de théorie développés ci-dessus nous
suffiront. Cependant, il existe des cas d’intérêt crucial qui n’obéissent pas à
cette propriété. Citons en deux. Il faut savoir, pour ces deux exemples, comme
pour l’ensemble des cas où le potentiel V ne tend pas vers 0 à l’infini que la
situation est alors beaucoup plus compliquée que la situation “simple” du cas
où le potentiel tend effectivement vers 0 à l’infini.
Le premier cas est celui de l’hamiltonien à N corps
H N = −
1
2
N
i=1
∆ xi +
N
i=1
V (x i ) +
1
2
N
i=1
N
j=1,j =i
W (x i − x j ),
(B.28)
où le potentiel W est typiquement le potentiel coulombien.