B.5 Propriétés complémentaires sur le spectre
389
Proposition B.17. (Borne de Ghirardi-Rimini) Soit V un potentiel.
Alors, le nombre N (c) de valeurs propres de −∆ + V inférieures à un certain réel −c
2 peut se borner comme suit
N (c) ≤
1
4π
2
I R 3 ×I R 3
V − (x)V − (y)
|x − y| 2 e
−2c|x−y| dx dy,
(B.24)
où V − désigne la partie négative de V .
Remarque B.22 Si le membre de droite est fini quand c = 0, cette borne
donne un critère pour avoir un nombre fini de valeurs propres discrètes.
Proposition B.18. (Borne de Lieb-Thirring) La somme des valeurs absolues des valeurs propres discrètes d’un opérateur −∆+V sur L
2 (IR
3 ) peut se
borner comme suit
λ∈σ disc (−∆+V )
|λ| ≤
4
15π
I R 3
|V − |
5/2 dx.
(B.25)
Remarque B.23 En fait, on pourrait citer encore une autre estimation, qui
borne le nombre de valeurs propres discrètes de −∆ + V par C
te
I R 3
|V − |
3/2 .
Pour une telle borne, et d’autres, nous renvoyons à la bibliographie.
B.5.4 Propriétés de l’état fondamental
Qualitativement, il nous reste une dernière information à donner. Cette information concerne une valeur propre particulière : la plus petite valeur propre
d’un opérateur auto-adjoint borné inférieurement. Rappelons que physiquement cette valeur propre correspond à l’état fondamental du système considéré
(tout au moins quand elle se trouve en dessous du spectre essentiel).
On sait que cette valeur propre, qu’on appelle la première valeur propre, vérifie
λ 1 =
inf
ψ∈D(H), ψ=1
(Hψ, ψ).
(B.26)
En fait dans certains cas favorables, cette propriété n’est pas la seule caractérisation de la première valeur propre. Plus précisément dans le cas où cette
première valeur propre est en-dessous du spectre essentiel, nous allons pouvoir affirmer que la première valeur propre est de multiplicité égale à un, et
qu’elle est associé à une fonction propre strictement positive. La seconde de
ces deux propriétés est d’ailleurs une caractérisation de la première fonction
propre (ce qu’on comprend intuitivement car les autres fonctions propres sont
nécessairement orthogonales à la première, donc changent nécessairement de
signe !). Précisons cela.
389
Proposition B.17. (Borne de Ghirardi-Rimini) Soit V un potentiel.
Alors, le nombre N (c) de valeurs propres de −∆ + V inférieures à un certain réel −c
2 peut se borner comme suit
N (c) ≤
1
4π
2
I R 3 ×I R 3
V − (x)V − (y)
|x − y| 2 e
−2c|x−y| dx dy,
(B.24)
où V − désigne la partie négative de V .
Remarque B.22 Si le membre de droite est fini quand c = 0, cette borne
donne un critère pour avoir un nombre fini de valeurs propres discrètes.
Proposition B.18. (Borne de Lieb-Thirring) La somme des valeurs absolues des valeurs propres discrètes d’un opérateur −∆+V sur L
2 (IR
3 ) peut se
borner comme suit
λ∈σ disc (−∆+V )
|λ| ≤
4
15π
I R 3
|V − |
5/2 dx.
(B.25)
Remarque B.23 En fait, on pourrait citer encore une autre estimation, qui
borne le nombre de valeurs propres discrètes de −∆ + V par C
te
I R 3
|V − |
3/2 .
Pour une telle borne, et d’autres, nous renvoyons à la bibliographie.
B.5.4 Propriétés de l’état fondamental
Qualitativement, il nous reste une dernière information à donner. Cette information concerne une valeur propre particulière : la plus petite valeur propre
d’un opérateur auto-adjoint borné inférieurement. Rappelons que physiquement cette valeur propre correspond à l’état fondamental du système considéré
(tout au moins quand elle se trouve en dessous du spectre essentiel).
On sait que cette valeur propre, qu’on appelle la première valeur propre, vérifie
λ 1 =
inf
ψ∈D(H), ψ=1
(Hψ, ψ).
(B.26)
En fait dans certains cas favorables, cette propriété n’est pas la seule caractérisation de la première valeur propre. Plus précisément dans le cas où cette
première valeur propre est en-dessous du spectre essentiel, nous allons pouvoir affirmer que la première valeur propre est de multiplicité égale à un, et
qu’elle est associé à une fonction propre strictement positive. La seconde de
ces deux propriétés est d’ailleurs une caractérisation de la première fonction
propre (ce qu’on comprend intuitivement car les autres fonctions propres sont
nécessairement orthogonales à la première, donc changent nécessairement de
signe !). Précisons cela.