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B Introduction à la théorie spectrale
1. si V ∈ R + (L
∞ ) ε (au sens défini à la Remarque B.17) et si V vérifie
V (x) ≤ −a
1
|x| 2−ε ,
(B.22)
pour a > 0, ε > 0, et |x| assez grand, alors le spectre discret de −∆ + V
est infini.
2. si V ∈ R + (L
∞ ) ε (au sens défini à la Remarque B.17) et si V vérifie
V (x) ≥ −
b
4
1
|x| 2 ,
(B.23)
pour b < 1 et |x| assez grand, alors le spectre discret de −∆ + V est fini.
Ce théorème nous permet de régler définitivement le cas d’un de nos opérateurs auto-adjoints favoris, l’opérateur −∆ −
1
|x| sur L
2 (IR
3 ) (dont on rappelle
qu’il n’est rien d’autre que l’hamiltonien associé à l’atome d’Hydrogène). En
regroupant tous les résultats ci-dessus, nous savons que son spectre essentiel
est σ ess = [0, +∞[, qu’il n’a pas de valeur propre strictement positive, qu’il
possède une infinité de valeurs propres discrètes formant une suite tendant
vers 0, le bas du spectre essentiel. Le dernier point qui reste est de savoir si
0 est lui-même une valeur propre ou non, et la réponse est non : cela relève
du Théorème 3.13 cité dans le cours du texte. La Figure B.2 regroupe ces
informations.
Que le spectre discret soit infini, auquel cas on a envie de savoir comment
sont distribuées les valeurs propres, ou bien qu’il soit fini, auquel cas on voudrait bien avoir des informations sur le nombre de valeurs propres, on peut
vouloir aller plus loin dans la connaissance qualitative du spectre discret. Ceci
est possible grâce à une catégorie de résultats qui ont pour but d’estimer des
sommes du genre
λ∈σ disc
|λ|
p pour différents p (p = 0 donne bien sûr le nombre
de valeurs propres discrètes). Ces estimations concernent donc ce qu’on
appelle les moments des valeurs propres discrètes (c’est-à-dire leurs puissances
p-ièmes). Donnons-en seulement deux ici.
0
Valeurs propres
Spectre continu
Première valeur propre
Aucune valeur propre
Fig. B.2. Le spectre de l’Hamiltonien hydrogénoïde −∆ −
1
|x|
sur L
2 (IR
3 ).
B Introduction à la théorie spectrale
1. si V ∈ R + (L
∞ ) ε (au sens défini à la Remarque B.17) et si V vérifie
V (x) ≤ −a
1
|x| 2−ε ,
(B.22)
pour a > 0, ε > 0, et |x| assez grand, alors le spectre discret de −∆ + V
est infini.
2. si V ∈ R + (L
∞ ) ε (au sens défini à la Remarque B.17) et si V vérifie
V (x) ≥ −
b
4
1
|x| 2 ,
(B.23)
pour b < 1 et |x| assez grand, alors le spectre discret de −∆ + V est fini.
Ce théorème nous permet de régler définitivement le cas d’un de nos opérateurs auto-adjoints favoris, l’opérateur −∆ −
1
|x| sur L
2 (IR
3 ) (dont on rappelle
qu’il n’est rien d’autre que l’hamiltonien associé à l’atome d’Hydrogène). En
regroupant tous les résultats ci-dessus, nous savons que son spectre essentiel
est σ ess = [0, +∞[, qu’il n’a pas de valeur propre strictement positive, qu’il
possède une infinité de valeurs propres discrètes formant une suite tendant
vers 0, le bas du spectre essentiel. Le dernier point qui reste est de savoir si
0 est lui-même une valeur propre ou non, et la réponse est non : cela relève
du Théorème 3.13 cité dans le cours du texte. La Figure B.2 regroupe ces
informations.
Que le spectre discret soit infini, auquel cas on a envie de savoir comment
sont distribuées les valeurs propres, ou bien qu’il soit fini, auquel cas on voudrait bien avoir des informations sur le nombre de valeurs propres, on peut
vouloir aller plus loin dans la connaissance qualitative du spectre discret. Ceci
est possible grâce à une catégorie de résultats qui ont pour but d’estimer des
sommes du genre
λ∈σ disc
|λ|
p pour différents p (p = 0 donne bien sûr le nombre
de valeurs propres discrètes). Ces estimations concernent donc ce qu’on
appelle les moments des valeurs propres discrètes (c’est-à-dire leurs puissances
p-ièmes). Donnons-en seulement deux ici.
0
Valeurs propres
Spectre continu
Première valeur propre
Aucune valeur propre
Fig. B.2. Le spectre de l’Hamiltonien hydrogénoïde −∆ −
1
|x|
sur L
2 (IR
3 ).