B.5 Propriétés complémentaires sur le spectre
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B.5.3 Sur les valeurs propres discrètes et leur nombre
Regardons maintenant le cas des valeurs propres discrètes.
Le premier point consiste à étendre au cas des opérateurs auto-adjoints en
dimension infinie une propriété bien connue des matrices symétriques de
dimension finie.
Théorème B.18 (Principe du min-max, ou formules de CourantFischer) Soit H un opérateur auto-adjoint, que l’on suppose borné inférieurement, c’est-à-dire tel que H ≥ c I pour un certain réel c. On définit
λ n (H) =
sup
ϕ1,ϕ2,...,ϕn−1
inf
ψ ∈ D(H), ψ = 1,
ψ ∈ (ϕ 1 , ϕ 2 , ..., ϕ n−1 )
⊥
(Hψ, ψ)
(B.20)
Alors, pour chaque n,
1. soit il y a n valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) en dessous
du spectre essentiel de H, et λ n est la n-ième valeur propre de H (toujours
comptée avec la multiplicité),
2. soit λ n est le bas du spectre essentiel, auquel cas il y a au plus n−1 valeurs
propres (comptées avec leur multiplicité) en dessous de λ n .
Remarque B.19 Noter qu’on ne suppose pas les ϕ j indépendants dans
(B.20).
Remarque B.20 Tout comme en dimension finie, on peut donner une autre
caractérisation de λ n (H) par la formule suivante :
λ n (H) = inf
Vn∈Vn
sup
ψ ∈ V n ,
ψ = 1
(Hψ, ψ)
(B.21)
où V n désigne l’ensemble des sous-espaces vectoriels de D(H) de dimension
n.
Bien sûr, ce théorème laisse libre le fait qu’il y ait un nombre fini de valeurs
propres (c’est-à-dire que pour un certain n fini, l’option 2 se produise), ou
qu’il y ait une infinité de valeurs propres (c’est-à-dire que l’option 2 ne se
produise jamais, sauf pour n = +∞). Il faut donc des informations sur la
forme de l’opérateur auto-adjoint pour pouvoir en dire plus.
Dans le cas des opérateurs de Schrödinger que nous allons rencontrer, la question est traitée par le résultat suivant.
Théorème B.21 On considère l’opérateur −∆ + V sur L
2 (IR
3 ).
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B.5.3 Sur les valeurs propres discrètes et leur nombre
Regardons maintenant le cas des valeurs propres discrètes.
Le premier point consiste à étendre au cas des opérateurs auto-adjoints en
dimension infinie une propriété bien connue des matrices symétriques de
dimension finie.
Théorème B.18 (Principe du min-max, ou formules de CourantFischer) Soit H un opérateur auto-adjoint, que l’on suppose borné inférieurement, c’est-à-dire tel que H ≥ c I pour un certain réel c. On définit
λ n (H) =
sup
ϕ1,ϕ2,...,ϕn−1
inf
ψ ∈ D(H), ψ = 1,
ψ ∈ (ϕ 1 , ϕ 2 , ..., ϕ n−1 )
⊥
(Hψ, ψ)
(B.20)
Alors, pour chaque n,
1. soit il y a n valeurs propres (comptées avec leur multiplicité) en dessous
du spectre essentiel de H, et λ n est la n-ième valeur propre de H (toujours
comptée avec la multiplicité),
2. soit λ n est le bas du spectre essentiel, auquel cas il y a au plus n−1 valeurs
propres (comptées avec leur multiplicité) en dessous de λ n .
Remarque B.19 Noter qu’on ne suppose pas les ϕ j indépendants dans
(B.20).
Remarque B.20 Tout comme en dimension finie, on peut donner une autre
caractérisation de λ n (H) par la formule suivante :
λ n (H) = inf
Vn∈Vn
sup
ψ ∈ V n ,
ψ = 1
(Hψ, ψ)
(B.21)
où V n désigne l’ensemble des sous-espaces vectoriels de D(H) de dimension
n.
Bien sûr, ce théorème laisse libre le fait qu’il y ait un nombre fini de valeurs
propres (c’est-à-dire que pour un certain n fini, l’option 2 se produise), ou
qu’il y ait une infinité de valeurs propres (c’est-à-dire que l’option 2 ne se
produise jamais, sauf pour n = +∞). Il faut donc des informations sur la
forme de l’opérateur auto-adjoint pour pouvoir en dire plus.
Dans le cas des opérateurs de Schrödinger que nous allons rencontrer, la question est traitée par le résultat suivant.
Théorème B.21 On considère l’opérateur −∆ + V sur L
2 (IR
3 ).