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B Introduction à la théorie spectrale
La question du spectre essentiel étant réglée, attachons nous maintenant à
localiser les valeurs propres. Deux cas se présentent : le cas des valeurs propres
ponctuelles non discrètes, c’est-à-dire non isolées ou de multiplicité infinie,
c’est-à-dire encore de valeurs propres appartenant au spectre essentiel (on dit
souvent plongées dans le spectre essentiel), et le cas de valeurs propres isolées
et de multiplicité finie (spectre discret).
Commençons par les premières.
B.5.2 Valeurs propres dans le spectre essentiel
Considérons uniquement le cas où l’opérateur est de type Schrödinger, et où
son spectre essentiel est [0, +∞[. En fait, la question posée peut se subdiviser
en deux sous-questions : existe-t-il des valeurs propres strictement positives ?
Le bas du spectre essentiel (0 dans ce cas) est-il une valeur propre ?
La seconde question est en fait redoutablement difficile, et dans certains cas
très particuliers, on y apporte une réponse (partielle
8 ) dans le cours du texte.
Il n’est pas possible de la traiter en toute généralité. Reste donc le cas des
valeurs propres strictement positives. Là, on a par exemple le résultat suivant :
Proposition B.16. Soit V un potentiel à valeurs réelles que l’on suppose
−∆-borné avec une borne relative strictement inférieure à 1. Supposons de
plus que V est homogène de degré α avec 0 < α < 2. Alors −∆ + V n’a pas
de valeur propre strictement positive.
Ceci s’applique à −∆ −
1
|x| . En effet, comme V = −
1
|x| est −∆-compact, il
est a fortiori −∆-borné, avec une borne relative égale à zéro. On sait que le
spectre essentiel de −∆ −
1
|x| est [0, +∞[, et par la proposition ci-dessus, qu’il
n’y a pas de valeur propre strictement positive, donc qu’il n’y a pas de valeur
propre strictement plongée dans le spectre essentiel.
En fait, l’existence d’une valeur propre strictement positive pourrait paraître
un peu saugrenue d’un point de vue physique : il s’agirait d’un état lié, dans
une zone d’énergie où il n’aurait aucune raison de l’être. En effet, on se trouve
alors au-dessus du bas du spectre essentiel, donc (“moralement”) au dessus
de la limite du potentiel à l’infini. Pourtant, dans certains cas, correspondant
par exemple à un potentiel V tendant vers 0 à l’infini avec des oscillations,
comme quelque chose du genre V (x) ≈ −
sin |x|
|x|
, on peut exhiber une valeur
propre égale à 1 ! On prendra donc garde à ce genre de canulars.
8 Car on va regarder cette question surtout dans le cadre où, en plus, la valeur
propre 0 serait la plus petite de toutes !
B Introduction à la théorie spectrale
La question du spectre essentiel étant réglée, attachons nous maintenant à
localiser les valeurs propres. Deux cas se présentent : le cas des valeurs propres
ponctuelles non discrètes, c’est-à-dire non isolées ou de multiplicité infinie,
c’est-à-dire encore de valeurs propres appartenant au spectre essentiel (on dit
souvent plongées dans le spectre essentiel), et le cas de valeurs propres isolées
et de multiplicité finie (spectre discret).
Commençons par les premières.
B.5.2 Valeurs propres dans le spectre essentiel
Considérons uniquement le cas où l’opérateur est de type Schrödinger, et où
son spectre essentiel est [0, +∞[. En fait, la question posée peut se subdiviser
en deux sous-questions : existe-t-il des valeurs propres strictement positives ?
Le bas du spectre essentiel (0 dans ce cas) est-il une valeur propre ?
La seconde question est en fait redoutablement difficile, et dans certains cas
très particuliers, on y apporte une réponse (partielle
8 ) dans le cours du texte.
Il n’est pas possible de la traiter en toute généralité. Reste donc le cas des
valeurs propres strictement positives. Là, on a par exemple le résultat suivant :
Proposition B.16. Soit V un potentiel à valeurs réelles que l’on suppose
−∆-borné avec une borne relative strictement inférieure à 1. Supposons de
plus que V est homogène de degré α avec 0 < α < 2. Alors −∆ + V n’a pas
de valeur propre strictement positive.
Ceci s’applique à −∆ −
1
|x| . En effet, comme V = −
1
|x| est −∆-compact, il
est a fortiori −∆-borné, avec une borne relative égale à zéro. On sait que le
spectre essentiel de −∆ −
1
|x| est [0, +∞[, et par la proposition ci-dessus, qu’il
n’y a pas de valeur propre strictement positive, donc qu’il n’y a pas de valeur
propre strictement plongée dans le spectre essentiel.
En fait, l’existence d’une valeur propre strictement positive pourrait paraître
un peu saugrenue d’un point de vue physique : il s’agirait d’un état lié, dans
une zone d’énergie où il n’aurait aucune raison de l’être. En effet, on se trouve
alors au-dessus du bas du spectre essentiel, donc (“moralement”) au dessus
de la limite du potentiel à l’infini. Pourtant, dans certains cas, correspondant
par exemple à un potentiel V tendant vers 0 à l’infini avec des oscillations,
comme quelque chose du genre V (x) ≈ −
sin |x|
|x|
, on peut exhiber une valeur
propre égale à 1 ! On prendra donc garde à ce genre de canulars.
8 Car on va regarder cette question surtout dans le cadre où, en plus, la valeur
propre 0 serait la plus petite de toutes !