B.5 Propriétés complémentaires sur le spectre
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B.5.1 Localisation du spectre essentiel
La première réponse que nous allons apporter est la localisation du spectre
essentiel. Comme l’intégralité des opérateurs que nous manipulerons seront
des opérateurs perturbations du Laplacien, et que nous savons déjà que
σ ess (−∆) = [0, +∞[, nous avons besoin d’un résultat reliant le spectre essentiel d’une perturbation du Laplacien au spectre essentiel du Laplacien. Le
voici.
Théorème B.15 (dit de Weyl) Soit H 0 un opérateur auto-adjoint de domaine D(H 0 ) et W un opérateur symétrique. On suppose que W est une perturbation H 0 -compacte (au sens de la Définition B.8 ci-dessus). Alors l’opérateur H = H 0 + W défini sur D(H) = D(H 0 ), qui est auto-adjoint (d’après
le Théorème B.9), vérifie σ ess (H + W ) = σ ess (H).
Ce théorème entraîne de nombreux corollaires, déclinant chacun diverses perturbations relativement compactes d’un opérateur donné. Contentons-nous
d’en citer un, et de renvoyer pour les autres à la bibliographie.
Corollaire B.16 Soit V un potentiel possédant la propriété suivante : pour
tout ε > 0, on peut écrire V sous la forme V = V 1 + V 2 avec V 2 ∈
L
∞ (IR
3 ), V 2 L ∞ (I R 3 ) ≤ ε et V 1 ∈ L
2 (IR
3 ). On note cette propriété V ∈
L
2 (IR
3 ) +
L
∞ (IR
3 )
ε
. Un cas particulier important d’un tel potentiel V est
V (x) = −
1
|x|
. Alors V est une perturbation relativement compacte du Laplacien et donc σ ess (−∆ + V ) = [0, +∞[.
Remarque B.17 La même conclusion est vraie pour un potentiel V appartenant à L
p (IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε , p ≥ 2 (c’est encore une perturbation relativement compacte du Laplacien), ou encore appartenant à R(IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε ,
c’est-à-dire pour un potentiel pouvant s’écrire V = V 1 + V 2 toujours avec
V 2 ∈ L
∞ (IR
3 ), V 2 L ∞ (I R 3 ) ≤ ε arbitrairement petit et V 1 appartenant à la
classe de Rollnik R, c’est-à-dire vérifiant
I R 3 ×I R 3
V (x)V (y)
|x − y|
2 dx dy < ∞.
(B.19)
Pour traiter de perturbations plus générales du Laplacien, en particulier de
perturbations qui ne tendent pas vers 0 à l’infini, même dans un sens faible
(remarquer en effet que si on dit par exemple V ∈ L
2 (IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε , cela
exprime au moins dans un sens faible que V tend vers 0 à l’infini), il existe des
outils, comme le Théorème dit HVZ permettant de relier le spectre essentiel
de l’opérateur perturbé à celui de l’opérateur non perturbé −∆. Encore une
fois, nous renvoyons le lecteur à la bibliographie.
Pour nous, retenons heuristiquement que si un potentiel tend vers l à l’infini
raisonnablement, alors l’opérateur de Schrödinger a pour spectre essentiel
[l, +∞[.
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B.5.1 Localisation du spectre essentiel
La première réponse que nous allons apporter est la localisation du spectre
essentiel. Comme l’intégralité des opérateurs que nous manipulerons seront
des opérateurs perturbations du Laplacien, et que nous savons déjà que
σ ess (−∆) = [0, +∞[, nous avons besoin d’un résultat reliant le spectre essentiel d’une perturbation du Laplacien au spectre essentiel du Laplacien. Le
voici.
Théorème B.15 (dit de Weyl) Soit H 0 un opérateur auto-adjoint de domaine D(H 0 ) et W un opérateur symétrique. On suppose que W est une perturbation H 0 -compacte (au sens de la Définition B.8 ci-dessus). Alors l’opérateur H = H 0 + W défini sur D(H) = D(H 0 ), qui est auto-adjoint (d’après
le Théorème B.9), vérifie σ ess (H + W ) = σ ess (H).
Ce théorème entraîne de nombreux corollaires, déclinant chacun diverses perturbations relativement compactes d’un opérateur donné. Contentons-nous
d’en citer un, et de renvoyer pour les autres à la bibliographie.
Corollaire B.16 Soit V un potentiel possédant la propriété suivante : pour
tout ε > 0, on peut écrire V sous la forme V = V 1 + V 2 avec V 2 ∈
L
∞ (IR
3 ), V 2 L ∞ (I R 3 ) ≤ ε et V 1 ∈ L
2 (IR
3 ). On note cette propriété V ∈
L
2 (IR
3 ) +
L
∞ (IR
3 )
ε
. Un cas particulier important d’un tel potentiel V est
V (x) = −
1
|x|
. Alors V est une perturbation relativement compacte du Laplacien et donc σ ess (−∆ + V ) = [0, +∞[.
Remarque B.17 La même conclusion est vraie pour un potentiel V appartenant à L
p (IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε , p ≥ 2 (c’est encore une perturbation relativement compacte du Laplacien), ou encore appartenant à R(IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε ,
c’est-à-dire pour un potentiel pouvant s’écrire V = V 1 + V 2 toujours avec
V 2 ∈ L
∞ (IR
3 ), V 2 L ∞ (I R 3 ) ≤ ε arbitrairement petit et V 1 appartenant à la
classe de Rollnik R, c’est-à-dire vérifiant
I R 3 ×I R 3
V (x)V (y)
|x − y|
2 dx dy < ∞.
(B.19)
Pour traiter de perturbations plus générales du Laplacien, en particulier de
perturbations qui ne tendent pas vers 0 à l’infini, même dans un sens faible
(remarquer en effet que si on dit par exemple V ∈ L
2 (IR
3 ) + (L
∞ (IR
3 )) ε , cela
exprime au moins dans un sens faible que V tend vers 0 à l’infini), il existe des
outils, comme le Théorème dit HVZ permettant de relier le spectre essentiel
de l’opérateur perturbé à celui de l’opérateur non perturbé −∆. Encore une
fois, nous renvoyons le lecteur à la bibliographie.
Pour nous, retenons heuristiquement que si un potentiel tend vers l à l’infini
raisonnablement, alors l’opérateur de Schrödinger a pour spectre essentiel
[l, +∞[.