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B Introduction à la théorie spectrale
Notre second commentaire concerne la décomposition que nous avons faite
de l’espace H sous la forme (B.11). Il y a un point sur lequel cette décomposition est franchement moins bonne que celle que nous avions obtenue au
Théorème B.7 pour le cas des opérateurs compacts. Cette décomposition n’est
pas une somme hilbertienne. Cela vient évidemment du fait que nous avons
fait la transformation préalable des espaces propres E λ k en les espaces G λ .
En fait, il existe pour les opérateurs auto-adjoints généraux une analogue de
la décomposition (B.5). Cette décomposition est donnée par le Théorème de
Von Neumann-Dixmier, pour lequel nous renvoyons à la bibliographie.
Remarque B.13 Soit T un opérateur auto-adjoint sur l’espace de Hilbert H
et f une fonction de IR dans C | . On définit l’opérateur f (T ) par
D(f (T )) =
x ∈ H,
+∞
−∞
|f (λ)|
2 dP λ x
2 < +∞
,
et
∀x ∈ D(f (T )),
f(T ) · x =
+∞
−∞
f (λ) dP λ x,
où (P λ ) λ∈I R désigne la famille spectrale associée à l’opérateur T . Si T est borné
et si f est développable en une série entière en 0 de rayon de convergence
supérieur à |||T |||, cette définition de f (T ) coïncide avec la définition usuelle.
Ce procédé, à la base du calcul fonctionnel auto-adjoint, permet ainsi de donner un sens à des opérateurs tels que e
t∆ (semi-groupe de la chaleur), e
−it∆
(propagateur libre en mécanique quantique), ...
B.5 Propriétés complémentaires sur le spectre
A ce stade, nous savons ce qu’est le spectre, comment il peut être subdivisé
en différentes parties, et comment il peut servir pour décomposer l’opérateur
auto-adjoint, de sorte á obtenir une décomposition de l’opérateur et de l’espace
ambiant du type de celle donnée par le Théorème B.1, ou presque.
Ce qu’il nous reste à faire, c’est à déterminer, pour les opérateurs auto-adjoints
du type de ceux que nous rencontrerons, quels sont les éléments du spectre. En
d’autres termes, il nous faut répondre à la question : où se trouve le spectre,
et quelle est sa structure ?
C’est ce que nous allons faire ici, et nous en profiterons pour mentionner des
propriétés complémentaires bien utiles.
Remarque B.14 Dans la suite, nous allons donner quelques résultats généraux qui peuvent s’appliquer en fait aussi à des opérateurs non nécessairement
fermés. Il est alors sous-entendu que lorsqu’on parlera de leur spectre, on parlera en fait du spectre de leur fermeture.
B Introduction à la théorie spectrale
Notre second commentaire concerne la décomposition que nous avons faite
de l’espace H sous la forme (B.11). Il y a un point sur lequel cette décomposition est franchement moins bonne que celle que nous avions obtenue au
Théorème B.7 pour le cas des opérateurs compacts. Cette décomposition n’est
pas une somme hilbertienne. Cela vient évidemment du fait que nous avons
fait la transformation préalable des espaces propres E λ k en les espaces G λ .
En fait, il existe pour les opérateurs auto-adjoints généraux une analogue de
la décomposition (B.5). Cette décomposition est donnée par le Théorème de
Von Neumann-Dixmier, pour lequel nous renvoyons à la bibliographie.
Remarque B.13 Soit T un opérateur auto-adjoint sur l’espace de Hilbert H
et f une fonction de IR dans C | . On définit l’opérateur f (T ) par
D(f (T )) =
x ∈ H,
+∞
−∞
|f (λ)|
2 dP λ x
2 < +∞
,
et
∀x ∈ D(f (T )),
f(T ) · x =
+∞
−∞
f (λ) dP λ x,
où (P λ ) λ∈I R désigne la famille spectrale associée à l’opérateur T . Si T est borné
et si f est développable en une série entière en 0 de rayon de convergence
supérieur à |||T |||, cette définition de f (T ) coïncide avec la définition usuelle.
Ce procédé, à la base du calcul fonctionnel auto-adjoint, permet ainsi de donner un sens à des opérateurs tels que e
t∆ (semi-groupe de la chaleur), e
−it∆
(propagateur libre en mécanique quantique), ...
B.5 Propriétés complémentaires sur le spectre
A ce stade, nous savons ce qu’est le spectre, comment il peut être subdivisé
en différentes parties, et comment il peut servir pour décomposer l’opérateur
auto-adjoint, de sorte á obtenir une décomposition de l’opérateur et de l’espace
ambiant du type de celle donnée par le Théorème B.1, ou presque.
Ce qu’il nous reste à faire, c’est à déterminer, pour les opérateurs auto-adjoints
du type de ceux que nous rencontrerons, quels sont les éléments du spectre. En
d’autres termes, il nous faut répondre à la question : où se trouve le spectre,
et quelle est sa structure ?
C’est ce que nous allons faire ici, et nous en profiterons pour mentionner des
propriétés complémentaires bien utiles.
Remarque B.14 Dans la suite, nous allons donner quelques résultats généraux qui peuvent s’appliquer en fait aussi à des opérateurs non nécessairement
fermés. Il est alors sous-entendu que lorsqu’on parlera de leur spectre, on parlera en fait du spectre de leur fermeture.