B.4 Opérateurs auto-adjoints quelconques
383
Avec ce théorème, on voit donc que d’un certain point de vue, manipuler des
opérateurs auto-adjoints, c’est exactement manipuler des familles spectrales.
Il est donc naturel que les propriétés du spectre de l’opérateur se traduisent
sur les propriétés de la famille spectrale, et réciproquement. On peut montrer
le résultat suivant.
Théorème B.11 Soit H un opérateur auto-adjoint dans l’espace de Hilbert
séparable H. Alors
1. (rappel) le spectre de H est réel et le spectre résiduel de H est vide,
2. λ ∈ σ p (H) équivaut à s-lim µ→λ,µ<λ P µ = P λ
3. λ ∈ σ c (H) équivaut à
s-lim
µ→λ, µ<λ
P µ = P λ
∀ε > 0, P λ−ε = P λ+ε
Heuristiquement, les éléments du spectre ponctuels sont les points où la mesure “saute” (sous-entendu d’une masse de Dirac), et les éléments du spectre
continu les points où cette mesure varie, mais continûment. La nomenclature
devient plus parlante !
Terminons cette section par deux commentaires sur des notions plus avancées.
En allant un peu plus loin, on peut dire que manipuler des opérateurs autoadjoints c’est aussi manipuler des mesures sur la droite réelle. En effet, si
(P λ ) λ∈I R est la famille spectrale associée à l’opérateur, on a vu que la dérivée par rapport à la variable λ de P λ peut être identifiée à une mesure dP λ
sur la droite réelle, mesure qui est à valeurs dans l’espace des projecteurs orthogonaux sur H. C’est la mesure spectrale. Ainsi, tout moyen de classifier
une mesure permettra de classifier aussi le spectre de l’opérateur. C’est ce
que nous avons vu ci-dessus, avec la notion de spectre continu et de spectre
ponctuel
7 .
Remarque B.12 Il existe dans la littérature des critères pour localiser le
spectre absolument continu et le spectre singulier, critères de même type que
ceux que nous verrons plus loin pour la localisation du spectre essentiel et du
spectre discret.
7 Le lecteur connaît peut-être le théorème de Lebesgue de décomposition des mesures, stipulant que toute mesure peut être décomposée en la somme de mesures
ponctuelles, de mesures absolument continues (i.e. de la forme f dx où f est L
1
et dx est la mesure de Lebesgue), et de mesures singulières. Une telle décomposition donne naissance à une décomposition analogue pour le spectre en parties
ponctuelle, absolument continue, et singulière. C’est ce que nous avions annoncé
à la Remarque B.6. Nous n’en dirons pas plus sur ce sujet.
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Avec ce théorème, on voit donc que d’un certain point de vue, manipuler des
opérateurs auto-adjoints, c’est exactement manipuler des familles spectrales.
Il est donc naturel que les propriétés du spectre de l’opérateur se traduisent
sur les propriétés de la famille spectrale, et réciproquement. On peut montrer
le résultat suivant.
Théorème B.11 Soit H un opérateur auto-adjoint dans l’espace de Hilbert
séparable H. Alors
1. (rappel) le spectre de H est réel et le spectre résiduel de H est vide,
2. λ ∈ σ p (H) équivaut à s-lim µ→λ,µ<λ P µ = P λ
3. λ ∈ σ c (H) équivaut à
s-lim
µ→λ, µ<λ
P µ = P λ
∀ε > 0, P λ−ε = P λ+ε
Heuristiquement, les éléments du spectre ponctuels sont les points où la mesure “saute” (sous-entendu d’une masse de Dirac), et les éléments du spectre
continu les points où cette mesure varie, mais continûment. La nomenclature
devient plus parlante !
Terminons cette section par deux commentaires sur des notions plus avancées.
En allant un peu plus loin, on peut dire que manipuler des opérateurs autoadjoints c’est aussi manipuler des mesures sur la droite réelle. En effet, si
(P λ ) λ∈I R est la famille spectrale associée à l’opérateur, on a vu que la dérivée par rapport à la variable λ de P λ peut être identifiée à une mesure dP λ
sur la droite réelle, mesure qui est à valeurs dans l’espace des projecteurs orthogonaux sur H. C’est la mesure spectrale. Ainsi, tout moyen de classifier
une mesure permettra de classifier aussi le spectre de l’opérateur. C’est ce
que nous avons vu ci-dessus, avec la notion de spectre continu et de spectre
ponctuel
7 .
Remarque B.12 Il existe dans la littérature des critères pour localiser le
spectre absolument continu et le spectre singulier, critères de même type que
ceux que nous verrons plus loin pour la localisation du spectre essentiel et du
spectre discret.
7 Le lecteur connaît peut-être le théorème de Lebesgue de décomposition des mesures, stipulant que toute mesure peut être décomposée en la somme de mesures
ponctuelles, de mesures absolument continues (i.e. de la forme f dx où f est L
1
et dx est la mesure de Lebesgue), et de mesures singulières. Une telle décomposition donne naissance à une décomposition analogue pour le spectre en parties
ponctuelle, absolument continue, et singulière. C’est ce que nous avions annoncé
à la Remarque B.6. Nous n’en dirons pas plus sur ce sujet.