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B Introduction à la théorie spectrale
Si l’on se donne une famille spectrale, on peut alors établir que pour x ∈ H,
l’application
λ → P λ x
(B.14)
est une fonction localement à variation bornée de la variable λ. Dès lors, pour
toute fonction continue f de la variable réelle, on peut définir, pour α < β
l’intégrale
β
α
f (λ) dP λ x
(B.15)
pour tout x ∈ H, comme la limite forte dans H des sommes de Riemann
j
f (µ
j )(P µj+1 − P µj )x
(B.16)
lorsque max
j
|µ j+1 − µ j | −→ 0. Dans la formule (B.16), les µ j forment une
discrétisation du segment [α, β], et les µ
j sont choisis dans les intervalles
]µ j , µ j+1 [. Le fait que les sommes de Riemann (B.16) convergent bien, et
de manière indépendante du découpage, est dû à la propriété de λ → P λ x
d’être localement à variation bornée. En faisant ensuite tendre α vers −∞ et
β vers +∞, on donne donc un sens rigoureux aux intégrales (B.11) et (B.12),
dès que la famille (P λ ) λ∈I R est une famille spectrale.
Une famille spectrale étant donnée, on peut construire un opérateur autoadjoint à partir de cette famille spectrale en procédant de la façon suivante :
on commence par définir le domaine
D =
x ∈ H,
+∞
−∞
|λ|
2 dP λ x
2 < +∞
,
(B.17)
qui est en fait dense dans H, puis on définit l’opérateur H sur D par
∀x ∈ D, T x =
+∞
−∞
λdP λ x.
(B.18)
On vérifie facilement que l’opérateur T ainsi défini est auto-adjoint. Réciproquement, il y a moyen de passer d’un opérateur auto-adjoint à une famille
spectrale. On le sait déjà pour les opérateurs auto-adjoints compacts, mais
c’est vrai pour tous. C’est ce qu’exprime le résultat suivant.
Théorème B.10 (dit Théorème spectral) Soit H un espace de Hilbert
séparable. L’application de l’ensemble des familles spectrales sur H à valeurs
dans l’ensemble des opérateurs auto-adjoints sur H définie par (B.17)-(B.18)
est bijective.
On dit de plus que la formule (B.12) est la représentation spectrale de l’opérateur auto-adjoint.
B Introduction à la théorie spectrale
Si l’on se donne une famille spectrale, on peut alors établir que pour x ∈ H,
l’application
λ → P λ x
(B.14)
est une fonction localement à variation bornée de la variable λ. Dès lors, pour
toute fonction continue f de la variable réelle, on peut définir, pour α < β
l’intégrale
β
α
f (λ) dP λ x
(B.15)
pour tout x ∈ H, comme la limite forte dans H des sommes de Riemann
j
f (µ
j )(P µj+1 − P µj )x
(B.16)
lorsque max
j
|µ j+1 − µ j | −→ 0. Dans la formule (B.16), les µ j forment une
discrétisation du segment [α, β], et les µ
j sont choisis dans les intervalles
]µ j , µ j+1 [. Le fait que les sommes de Riemann (B.16) convergent bien, et
de manière indépendante du découpage, est dû à la propriété de λ → P λ x
d’être localement à variation bornée. En faisant ensuite tendre α vers −∞ et
β vers +∞, on donne donc un sens rigoureux aux intégrales (B.11) et (B.12),
dès que la famille (P λ ) λ∈I R est une famille spectrale.
Une famille spectrale étant donnée, on peut construire un opérateur autoadjoint à partir de cette famille spectrale en procédant de la façon suivante :
on commence par définir le domaine
D =
x ∈ H,
+∞
−∞
|λ|
2 dP λ x
2 < +∞
,
(B.17)
qui est en fait dense dans H, puis on définit l’opérateur H sur D par
∀x ∈ D, T x =
+∞
−∞
λdP λ x.
(B.18)
On vérifie facilement que l’opérateur T ainsi défini est auto-adjoint. Réciproquement, il y a moyen de passer d’un opérateur auto-adjoint à une famille
spectrale. On le sait déjà pour les opérateurs auto-adjoints compacts, mais
c’est vrai pour tous. C’est ce qu’exprime le résultat suivant.
Théorème B.10 (dit Théorème spectral) Soit H un espace de Hilbert
séparable. L’application de l’ensemble des familles spectrales sur H à valeurs
dans l’ensemble des opérateurs auto-adjoints sur H définie par (B.17)-(B.18)
est bijective.
On dit de plus que la formule (B.12) est la représentation spectrale de l’opérateur auto-adjoint.