B.4 Opérateurs auto-adjoints quelconques
381
– plus forte que la notion de limite faible d’opérateur (weak limit) notée
w-lim et définie par
w-lim
µ→µ0
P µ = A
si
∀x ∈ H, P µ x x
µ→µ0
Ax,
la convergence de la famille (P µ x) vers Ax ayant lieu cette fois-ci dans
H pour la topologie faible ;
– moins forte que la notion de limite pour la norme d’opérateurs définie
par P µ − A L(H) = sup
x∈H, x =0
P µ x − Ax
x
−→
µ→µ0
0.
De plus, on peut vérifier que l’application λ → P λ est continue, sauf précisément en les valeurs λ = λ k appartenant au spectre ponctuel, pour lesquelles
on a une discontinuité “par valeurs inférieures”
s-lim
µ−→λ k , µ<λ k
P µ = P λ k − P E λ k ,
(B.10)
où on rappelle que P E λ k désigne l’opérateur de projection orthogonale sur
l’espace propre E λ k .
De manière symbolique (et en fait on peut donner un sens rigoureux à ceci,
nous le ferons rapidement plus loin), on peut donc écrire la décomposition
de l’espace H (c’est-à-dire la décomposition de l’opérateur identité I), et la
décomposition de l’opérateur H sous la forme “intégrale” suivante
I =
+∞
−∞
dP λ ,
(B.11)
H =
+∞
−∞
λ dP λ ,
(B.12)
où dP λ est une mesure sur la droite réelle à valeurs dans l’ensemble des projecteurs orthogonaux, faite dans ce cas d’une somme de mesures de Dirac
placées en les points du spectre ponctuel et affublées chacune d’un poids égal
au projecteur sur l’espace-propre associé :
dP λ =
λ k ≤λ
δ(· − λ k ) ⊗ P E λ .
(B.13)
Ce que nous allons expliquer maintenant en quelques lignes, c’est que ces deux
décompositions sous forme intégrale (B.11) et (B.12) peuvent être généralisées
telles quelles au cas des opérateurs non compacts (dont l’inverse n’est pas
compact non plus).
Commençons par un point de vocabulaire.
Definition B.15. Une famille (P λ ) λ∈I R de projecteurs orthogonaux de H
vérifiant les propriétés (B.9) est appelée une famille spectrale, ou aussi une
résolution de l’identité (cette dernière appellation se justifiant évidemment par
la formulation (B.11)).
381
– plus forte que la notion de limite faible d’opérateur (weak limit) notée
w-lim et définie par
w-lim
µ→µ0
P µ = A
si
∀x ∈ H, P µ x x
µ→µ0
Ax,
la convergence de la famille (P µ x) vers Ax ayant lieu cette fois-ci dans
H pour la topologie faible ;
– moins forte que la notion de limite pour la norme d’opérateurs définie
par P µ − A L(H) = sup
x∈H, x =0
P µ x − Ax
x
−→
µ→µ0
0.
De plus, on peut vérifier que l’application λ → P λ est continue, sauf précisément en les valeurs λ = λ k appartenant au spectre ponctuel, pour lesquelles
on a une discontinuité “par valeurs inférieures”
s-lim
µ−→λ k , µ<λ k
P µ = P λ k − P E λ k ,
(B.10)
où on rappelle que P E λ k désigne l’opérateur de projection orthogonale sur
l’espace propre E λ k .
De manière symbolique (et en fait on peut donner un sens rigoureux à ceci,
nous le ferons rapidement plus loin), on peut donc écrire la décomposition
de l’espace H (c’est-à-dire la décomposition de l’opérateur identité I), et la
décomposition de l’opérateur H sous la forme “intégrale” suivante
I =
+∞
−∞
dP λ ,
(B.11)
H =
+∞
−∞
λ dP λ ,
(B.12)
où dP λ est une mesure sur la droite réelle à valeurs dans l’ensemble des projecteurs orthogonaux, faite dans ce cas d’une somme de mesures de Dirac
placées en les points du spectre ponctuel et affublées chacune d’un poids égal
au projecteur sur l’espace-propre associé :
dP λ =
λ k ≤λ
δ(· − λ k ) ⊗ P E λ .
(B.13)
Ce que nous allons expliquer maintenant en quelques lignes, c’est que ces deux
décompositions sous forme intégrale (B.11) et (B.12) peuvent être généralisées
telles quelles au cas des opérateurs non compacts (dont l’inverse n’est pas
compact non plus).
Commençons par un point de vocabulaire.
Definition B.15. Une famille (P λ ) λ∈I R de projecteurs orthogonaux de H
vérifiant les propriétés (B.9) est appelée une famille spectrale, ou aussi une
résolution de l’identité (cette dernière appellation se justifiant évidemment par
la formulation (B.11)).