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B Introduction à la théorie spectrale
Théorème B.8 Soit H un opérateur auto-adjoint, non borné dans H, de
domaine D(H) dense dans H. On suppose de plus que pour un certain µ ∈ IR,
(H − µI)
−1 existe et est un opérateur compact sur H. Alors,
1. le spectre de H est entièrement ponctuel (et réel) ;
2. les valeurs propres λ ∈ σ p (H) peuvent être rangées en une suite (λ n ) n∈I N
telle que lim
n→+∞
|λ n | = +∞ ;
3. les sous-espaces propres E λ sont de dimension finie et orthogonaux deux
à deux, et H est la somme directe hilbertienne des E λ .
Remarque B.9 Les mêmes propriétés sont vraies dans le cas où l’opérateur,
compact ou d’inverse compact, n’est pas supposé auto-adjoint, mais normal,
c’est-à-dire s’il commute avec son adjoint.
B.4 Opérateurs auto-adjoints quelconques
Comme nous l’avons dit, la plupart des opérateurs auto-adjoints issus de la
Mécanique Quantique ne sont ni compacts ni d’inverse compact. Il nous faut
donc comprendre comment adapter les résultats de la section précédente à de
tels opérateurs. Plus précisément, il nous faut comprendre comment généraliser la décomposition (B.5) de H en sous-espaces propres, et la décomposition
de l’opérateur lui-même selon la somme hilbertienne (B.6).
Avant d’attaquer ceci, revenons un instant sur le cas d’un opérateur autoadjoint compact. Pour des raisons techniques, nous introduisons la suite de
sous-espaces G λ , indexée par λ réel et définie comme suit :
G λ =
λ k ≤λ
E λ k ,
(B.8)
où les λ k sont bien sûr les valeurs propres de l’opérateur H, et les E λ k les
espaces propres associés.
Il est alors simple de voir qu’en raison des résultats du Théorème B.7, on a
les propriétés suivantes des opérateurs de projection P λ sur G λ :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
P λ · P µ = P inf(λ,µ) ,
s-lim
µ→λ, µ>λ
P µ = P λ ,
s-lim
λ→−∞
P λ = 0, s-lim
λ→+∞
P λ = I.
(B.9)
Les limites ci-dessus, notées s-lim (pour strong limit), ont la signification suivante
s-lim
µ→µ0
P µ = A
signifie
∀x ∈ H, P µ x −→
µ→µ0
Ax,
la convergence de la famille (P µ x) vers Ax ayant lieu dans H pour la topologie
forte. Cette notion de limite est
B Introduction à la théorie spectrale
Théorème B.8 Soit H un opérateur auto-adjoint, non borné dans H, de
domaine D(H) dense dans H. On suppose de plus que pour un certain µ ∈ IR,
(H − µI)
−1 existe et est un opérateur compact sur H. Alors,
1. le spectre de H est entièrement ponctuel (et réel) ;
2. les valeurs propres λ ∈ σ p (H) peuvent être rangées en une suite (λ n ) n∈I N
telle que lim
n→+∞
|λ n | = +∞ ;
3. les sous-espaces propres E λ sont de dimension finie et orthogonaux deux
à deux, et H est la somme directe hilbertienne des E λ .
Remarque B.9 Les mêmes propriétés sont vraies dans le cas où l’opérateur,
compact ou d’inverse compact, n’est pas supposé auto-adjoint, mais normal,
c’est-à-dire s’il commute avec son adjoint.
B.4 Opérateurs auto-adjoints quelconques
Comme nous l’avons dit, la plupart des opérateurs auto-adjoints issus de la
Mécanique Quantique ne sont ni compacts ni d’inverse compact. Il nous faut
donc comprendre comment adapter les résultats de la section précédente à de
tels opérateurs. Plus précisément, il nous faut comprendre comment généraliser la décomposition (B.5) de H en sous-espaces propres, et la décomposition
de l’opérateur lui-même selon la somme hilbertienne (B.6).
Avant d’attaquer ceci, revenons un instant sur le cas d’un opérateur autoadjoint compact. Pour des raisons techniques, nous introduisons la suite de
sous-espaces G λ , indexée par λ réel et définie comme suit :
G λ =
λ k ≤λ
E λ k ,
(B.8)
où les λ k sont bien sûr les valeurs propres de l’opérateur H, et les E λ k les
espaces propres associés.
Il est alors simple de voir qu’en raison des résultats du Théorème B.7, on a
les propriétés suivantes des opérateurs de projection P λ sur G λ :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
P λ · P µ = P inf(λ,µ) ,
s-lim
µ→λ, µ>λ
P µ = P λ ,
s-lim
λ→−∞
P λ = 0, s-lim
λ→+∞
P λ = I.
(B.9)
Les limites ci-dessus, notées s-lim (pour strong limit), ont la signification suivante
s-lim
µ→µ0
P µ = A
signifie
∀x ∈ H, P µ x −→
µ→µ0
Ax,
la convergence de la famille (P µ x) vers Ax ayant lieu dans H pour la topologie
forte. Cette notion de limite est