B.3 Opérateurs auto-adjoints compacts
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la somme d’un nombre fini d’espaces propres de dimension finie, d’où les
différents cas possibles.
Il est crucial de souligner la puissance d’un tel résultat. En termes imagés, on a
ramené n’importe quel opérateur auto-adjoint compact, aussi compliqué soitil, à une somme d’opérateurs de multiplications “composante par composante”.
Il est utile de donner un exemple d’opérateur compact qui apparaît dans le
cadre de la Mécanique Quantique (penser dans ce qui suit au cas de l’échange
électronique). Il s’agit du cas des opérateurs dits de Hilbert-Schmidt qui,
quand ils agissent sur L
2 (IR), sont exactement les opérateurs de la forme
T : f → T f, avec ∀x ∈ IR, Tf(x) =
I R
K(x, y)f (y) dy,
(B.7)
où K ∈ L
2 (IR × IR). De tels opérateurs sont compacts. La fonction K(x, y)
est appelée le noyau de l’opérateur de Hilbert-Schmidt. Si le noyau vérifie
K(y, x) = K(x, y)
∗ alors l’opérateur T est en plus hermitien.
Une conséquence importante du résultat ci-dessus est ce qu’on appelle l’alternative de Fredholm, laquelle permet de décider exactement quand l’équation
Ax = b a une solution lorsque A = I + K oú K est un opérateur auto-adjoint
compact. Cette propriété généralise au cas de la dimension infinie la situation bien connue de la dimension finie où, pour une matrice A symétrique,
l’équation Ax = b admet une solution si et seulement si b est orthogonal au
noyau de A, la solution générale s’écrivant alors comme somme d’une solution
particulière et d’un quelconque élément du noyau de A. Nous renvoyons le
lecteur aux références bibliographiques pour en savoir plus sur le sujet.
A partir du résultat ci-dessus, il est aussi direct d’établir un résultat analogue
pour les opérateurs auto-adjoints dont l’inverse est compact, ou plus généralement les opérateurs pour lesquels il existe un µ ∈ IR tel que (T − µ I)
−1 soit
compact, situation très fréquente en Sciences de l’ingénieur.
Encore une fois, il nous faut signaler que ce cas n’est pas courant dans le
contexte où nous travaillerons. Il est beaucoup plus courant dans les situations où on travaille dans des ouverts bornés. Ainsi, ce cas des opérateurs à
inverse compact est typiquement celui des problèmes de la thermique (penser à
l’équation de la chaleur sur un domaine borné), ou de la Mécanique des fluides
(problème de Stokes sur un domaine borné), ou de la Mécanique des structures (élasticité linéaire), ... Il survient aussi en Mécanique Quantique dans
des problèmes qui ne sont pas les nôtres (particule dans une boîte, oscillateur
harmonique, ...), et se produit dans la version “numérique” de nos problèmes
où tout est (au moins heuristiquement) ramené sur un ouvert borné. Pour
toutes ces raisons, il paraît important de le signaler.
A partir du Théorème B.7 ci-dessus, il est facile d’obtenir le résultat suivant
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la somme d’un nombre fini d’espaces propres de dimension finie, d’où les
différents cas possibles.
Il est crucial de souligner la puissance d’un tel résultat. En termes imagés, on a
ramené n’importe quel opérateur auto-adjoint compact, aussi compliqué soitil, à une somme d’opérateurs de multiplications “composante par composante”.
Il est utile de donner un exemple d’opérateur compact qui apparaît dans le
cadre de la Mécanique Quantique (penser dans ce qui suit au cas de l’échange
électronique). Il s’agit du cas des opérateurs dits de Hilbert-Schmidt qui,
quand ils agissent sur L
2 (IR), sont exactement les opérateurs de la forme
T : f → T f, avec ∀x ∈ IR, Tf(x) =
I R
K(x, y)f (y) dy,
(B.7)
où K ∈ L
2 (IR × IR). De tels opérateurs sont compacts. La fonction K(x, y)
est appelée le noyau de l’opérateur de Hilbert-Schmidt. Si le noyau vérifie
K(y, x) = K(x, y)
∗ alors l’opérateur T est en plus hermitien.
Une conséquence importante du résultat ci-dessus est ce qu’on appelle l’alternative de Fredholm, laquelle permet de décider exactement quand l’équation
Ax = b a une solution lorsque A = I + K oú K est un opérateur auto-adjoint
compact. Cette propriété généralise au cas de la dimension infinie la situation bien connue de la dimension finie où, pour une matrice A symétrique,
l’équation Ax = b admet une solution si et seulement si b est orthogonal au
noyau de A, la solution générale s’écrivant alors comme somme d’une solution
particulière et d’un quelconque élément du noyau de A. Nous renvoyons le
lecteur aux références bibliographiques pour en savoir plus sur le sujet.
A partir du résultat ci-dessus, il est aussi direct d’établir un résultat analogue
pour les opérateurs auto-adjoints dont l’inverse est compact, ou plus généralement les opérateurs pour lesquels il existe un µ ∈ IR tel que (T − µ I)
−1 soit
compact, situation très fréquente en Sciences de l’ingénieur.
Encore une fois, il nous faut signaler que ce cas n’est pas courant dans le
contexte où nous travaillerons. Il est beaucoup plus courant dans les situations où on travaille dans des ouverts bornés. Ainsi, ce cas des opérateurs à
inverse compact est typiquement celui des problèmes de la thermique (penser à
l’équation de la chaleur sur un domaine borné), ou de la Mécanique des fluides
(problème de Stokes sur un domaine borné), ou de la Mécanique des structures (élasticité linéaire), ... Il survient aussi en Mécanique Quantique dans
des problèmes qui ne sont pas les nôtres (particule dans une boîte, oscillateur
harmonique, ...), et se produit dans la version “numérique” de nos problèmes
où tout est (au moins heuristiquement) ramené sur un ouvert borné. Pour
toutes ces raisons, il paraît important de le signaler.
A partir du Théorème B.7 ci-dessus, il est facile d’obtenir le résultat suivant