378
B Introduction à la théorie spectrale
B.3 Opérateurs auto-adjoints compacts
Ce cas est le plus proche de la dimension finie. Il a donc une grande valeur
pédagogique et c’est pourquoi nous le mentionnons bien que, dans les applications de Mécanique Quantique, il se produise rarement (un cas est cependant
indiqué ci-dessous). La raison essentielle est que notre cadre de travail est par
essence fait de fonctions définies sur l’espace IR
3 tout entier, ce qui rend la
propriété de compacité beaucoup plus rare. En revanche, le cas d’un opérateur
compact intervient fréquemment dans les problèmes de Mécanique des fluides
ou des structures où il est usuel de travailler sur des domaines bornés.
Pour simplifier l’exposé, nous allons supposer que le domaine de l’opérateur
H qu’on considère est H tout entier. Commençons par le cas où H est supposé
compact. Nous avons alors le résultat suivant que bien sûr nous ne démontrerons pas, et qui résume l’ensemble des propriétés que l’on peut établir dans
ce cas.
Théorème B.7 Soit H un opérateur hermitien compact sur un espace de
Hilbert H de dimension infinie.
1. Le spectre de H est réel. Il est de la forme σ(H) = (µ n ) ∪ {0} où (µ n )
est ou bien une suite finie de valeurs propres réelles, ou bien une suite
dénombrable de valeurs propres réelles convergeant vers 0.
2. Pour chaque valeur propre λ non nulle, l’espace propre E λ est de dimension finie.
3. Le réel 0 est éventuellement valeur propre (selon que H est injectif ou non)
et l’espace propre associé (le noyau de H) peut alors être de dimension
finie ou infinie. Si le réel 0 n’est pas valeur propre (i.e. n’est pas dans
le spectre discret), il est dans le spectre continu. Dans tous les cas, c’est
l’unique élément du spectre essentiel de H.
4. Les espaces propres E λ sont orthogonaux deux à deux, et H est la somme
directe hilbertienne des E λ :
H =
λ∈σ(H)
E λ
(B.5)
Autrement dit, les espaces propres E λ engendrent un sous-espace vectoriel
dont l’adhérence est H.
5. Du coup, l’opérateur H peut s’écrire comme la somme pondérée des opérateurs de projection P E λ sur chaque sous-espace propre E λ :
H =
λ∈σ(H)
λP E λ .
(B.6)
On retrouve donc quasiment mot pour mot la situation de la dimension finie
décrite dans le Théorème B.1. Bien sûr, on ne peut pas espérer que H soit
B Introduction à la théorie spectrale
B.3 Opérateurs auto-adjoints compacts
Ce cas est le plus proche de la dimension finie. Il a donc une grande valeur
pédagogique et c’est pourquoi nous le mentionnons bien que, dans les applications de Mécanique Quantique, il se produise rarement (un cas est cependant
indiqué ci-dessous). La raison essentielle est que notre cadre de travail est par
essence fait de fonctions définies sur l’espace IR
3 tout entier, ce qui rend la
propriété de compacité beaucoup plus rare. En revanche, le cas d’un opérateur
compact intervient fréquemment dans les problèmes de Mécanique des fluides
ou des structures où il est usuel de travailler sur des domaines bornés.
Pour simplifier l’exposé, nous allons supposer que le domaine de l’opérateur
H qu’on considère est H tout entier. Commençons par le cas où H est supposé
compact. Nous avons alors le résultat suivant que bien sûr nous ne démontrerons pas, et qui résume l’ensemble des propriétés que l’on peut établir dans
ce cas.
Théorème B.7 Soit H un opérateur hermitien compact sur un espace de
Hilbert H de dimension infinie.
1. Le spectre de H est réel. Il est de la forme σ(H) = (µ n ) ∪ {0} où (µ n )
est ou bien une suite finie de valeurs propres réelles, ou bien une suite
dénombrable de valeurs propres réelles convergeant vers 0.
2. Pour chaque valeur propre λ non nulle, l’espace propre E λ est de dimension finie.
3. Le réel 0 est éventuellement valeur propre (selon que H est injectif ou non)
et l’espace propre associé (le noyau de H) peut alors être de dimension
finie ou infinie. Si le réel 0 n’est pas valeur propre (i.e. n’est pas dans
le spectre discret), il est dans le spectre continu. Dans tous les cas, c’est
l’unique élément du spectre essentiel de H.
4. Les espaces propres E λ sont orthogonaux deux à deux, et H est la somme
directe hilbertienne des E λ :
H =
λ∈σ(H)
E λ
(B.5)
Autrement dit, les espaces propres E λ engendrent un sous-espace vectoriel
dont l’adhérence est H.
5. Du coup, l’opérateur H peut s’écrire comme la somme pondérée des opérateurs de projection P E λ sur chaque sous-espace propre E λ :
H =
λ∈σ(H)
λP E λ .
(B.6)
On retrouve donc quasiment mot pour mot la situation de la dimension finie
décrite dans le Théorème B.1. Bien sûr, on ne peut pas espérer que H soit