B.2 Définitions de base
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0
Fig. B.1. Le spectre du Laplacien sur L
2 (IR
3 ).
n’a pas de spectre résiduel. Supposons qu’un certain λ soit une valeur propre
de −∆. On aurait alors l’existence d’une fonction ϕ ∈ H
2 (IR
3 ) non nulle
telle que, pour presque tout x ∈ IR
3 , −∆ϕ(x) = λϕ(x). En utilisant alors la
transformée de Fourier des deux membres, on obtient −|ξ|
2 ˆ
ϕ(ξ) = λ ˆ
ϕ(ξ) pour
presque tout ξ ∈ IR
3 , ce qui n’est possible que si ˆ
ϕ et donc ϕ est identiquement nulle. Le spectre ponctuel est donc vide. Reste le spectre continu (qui
est donc ici égal au spectre essentiel, puisqu’il n’y a pas de valeurs propres,
même non isolée ou de multiplicité infinie). Un raisonnement analogue à celui
conduit dans l’Exercice B.4, et utilisant lui-aussi la transformation de Fourier, permet de montrer que le spectre essentiel est égal à [0, +∞[. La seule
petite modification par rapport à l’Exercice B.4 est une question de signe sur
λ. Tout λ ≥ 0 est donc dans le spectre essentiel. “Moralement”, un tel λ est
associé à des fonctions propres généralisées, vivant dans un espace plus gros
que L
2 (IR
3 ), à savoir aux ondes planes φ(x) = e
i
√
λ e·x , où e désigne un vecteur
unitaire de IR
3 . La Figure B.1 représente la situation.
Pour clore cette section, signalons quelques éléments de vocabulaire supplémentaires, utiles dans le contexte de la Mécanique Quantique, et qui permettent aussi de relier ces objets mathématiques que sont pour le moment les
éléments du spectre, à des réalités physiques.
Une fonction associée à un élément du spectre discret d’un opérateur de Schrödinger, c’est-à-dire à une valeur propre isolée et de multiplicité finie, est appelé
un état lié
6 . Celle qui est associée à la plus petite valeur propre discrète
(quand elle existe) est appelé l’état fondamental (les opérateurs de la Mécanique Quantique sont auto-adjoints et donc, le spectre étant réel, on peut
parler de la plus petite valeur propre, lorsque l’opérateur est minoré en tout
cas). Nous verrons que dans les cas physiques, cette première valeur propre
est strictement en-dessous du spectre essentiel : on dit alors que le système
est stable.
Au contraire, les fonctions qui, au moins formellement, peuvent être associées
à des éléments du spectre essentiel sont appelées des états de diffusion ou des
états non liés (penser à la fonction d’onde d’un électron de conduction dans
un solide).
6 Quelquefois, on réserve cette appellation aux fonctions propres associées aux éléments du spectre discret qui sont de plus situés strictement en-dessous du spectre
essentiel, ou bien on l’étend à tous les éléments du spectre ponctuel.
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Fig. B.1. Le spectre du Laplacien sur L
2 (IR
3 ).
n’a pas de spectre résiduel. Supposons qu’un certain λ soit une valeur propre
de −∆. On aurait alors l’existence d’une fonction ϕ ∈ H
2 (IR
3 ) non nulle
telle que, pour presque tout x ∈ IR
3 , −∆ϕ(x) = λϕ(x). En utilisant alors la
transformée de Fourier des deux membres, on obtient −|ξ|
2 ˆ
ϕ(ξ) = λ ˆ
ϕ(ξ) pour
presque tout ξ ∈ IR
3 , ce qui n’est possible que si ˆ
ϕ et donc ϕ est identiquement nulle. Le spectre ponctuel est donc vide. Reste le spectre continu (qui
est donc ici égal au spectre essentiel, puisqu’il n’y a pas de valeurs propres,
même non isolée ou de multiplicité infinie). Un raisonnement analogue à celui
conduit dans l’Exercice B.4, et utilisant lui-aussi la transformation de Fourier, permet de montrer que le spectre essentiel est égal à [0, +∞[. La seule
petite modification par rapport à l’Exercice B.4 est une question de signe sur
λ. Tout λ ≥ 0 est donc dans le spectre essentiel. “Moralement”, un tel λ est
associé à des fonctions propres généralisées, vivant dans un espace plus gros
que L
2 (IR
3 ), à savoir aux ondes planes φ(x) = e
i
√
λ e·x , où e désigne un vecteur
unitaire de IR
3 . La Figure B.1 représente la situation.
Pour clore cette section, signalons quelques éléments de vocabulaire supplémentaires, utiles dans le contexte de la Mécanique Quantique, et qui permettent aussi de relier ces objets mathématiques que sont pour le moment les
éléments du spectre, à des réalités physiques.
Une fonction associée à un élément du spectre discret d’un opérateur de Schrödinger, c’est-à-dire à une valeur propre isolée et de multiplicité finie, est appelé
un état lié
6 . Celle qui est associée à la plus petite valeur propre discrète
(quand elle existe) est appelé l’état fondamental (les opérateurs de la Mécanique Quantique sont auto-adjoints et donc, le spectre étant réel, on peut
parler de la plus petite valeur propre, lorsque l’opérateur est minoré en tout
cas). Nous verrons que dans les cas physiques, cette première valeur propre
est strictement en-dessous du spectre essentiel : on dit alors que le système
est stable.
Au contraire, les fonctions qui, au moins formellement, peuvent être associées
à des éléments du spectre essentiel sont appelées des états de diffusion ou des
états non liés (penser à la fonction d’onde d’un électron de conduction dans
un solide).
6 Quelquefois, on réserve cette appellation aux fonctions propres associées aux éléments du spectre discret qui sont de plus situés strictement en-dessous du spectre
essentiel, ou bien on l’étend à tous les éléments du spectre ponctuel.