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B Introduction à la théorie spectrale
Exercice B.5 Montrer que l’opérateur de shift à droite dans l
2 , qui à un
vecteur (u 1 , u 2 , · · ·) de l
2 associe le vecteur (0, u 1 , u 2 , · · ·), a un spectre résiduel
non vide.
Quand on traite d’un opérateur auto-adjoint, il arrive que l’on soit encore plus
précis, en subdivisant le spectre ponctuel en deux parties disjointes :
– ce qu’on appelle le spectre discret (noté σ disc (T )), formé des valeurs
propres isolées
4 , de multiplicité finie
5 ,
– et son complémentaire qui est donc formé des valeurs propres qui ne
sont pas isolées ou sont de multiplicité infinie (l’un n’étant pas exclusif
de l’autre)
Definition B.13. On appelle spectre essentiel (noté σ ess (T )) le complémentaire du spectre discret dans le spectre.
La caractérisation suivante du spectre essentiel, connue sous le nom de critère
de Weyl , peut être utile : un nombre complexe λ appartient à σ ess (T ) s’il
existe une suite (ψ n ) n∈I N d’éléments de D(T ) telle que : ψ n ≡ 1 pour tout
n ∈ IN, (ψ n ) n∈I N tend faiblement vers 0, (T ψ n − λψ n ) n∈I N tend fortement
vers 0.
Remarque B.6 On peut aussi identifier dans le spectre une partie dite
spectre absolument continu (noté σ abs (T )) et une partie dite spectre singulier
(noté σ sing (T )) ; ceci sera vu plus loin, lorsque nous verrons (rapidement) la
notion de mesure spectrale.
Que le lecteur se rassure, nous verrons que dans le cas particulier des opérateurs qui vont intervenir dans les modèles de Mécanique Quantique que nous
manipulerons, la plupart de ces diverses composantes sont vides. D’ailleurs,
commençons déjà à déblayer le terrain en mentionnant le résultat suivant
Proposition B.14. Dans un espace de Hilbert séparable, le spectre d’un opérateur auto-adjoint est contenu dans la droite réelle et son spectre résiduel est
vide.
La première assertion est bien sûr à rapprocher du fait qu’une matrice symétrique a toutes ses valeurs propres réelles (cf. Théorème B.1).
Comme dans la section précédente, testons maintenant les différentes notions
que nous avons acquises sur l’exemple canonique du Laplacien agissant sur
L
2 (IR
3 ). En tant qu’opérateur auto-adjoint, nous savons déjà que le Laplacien
4 C’est-à-dire des points du spectre ponctuel qui sont des points isolés du spectre
(tout court).
5 L’espace Ker(T − λI) est de dimension finie.
B Introduction à la théorie spectrale
Exercice B.5 Montrer que l’opérateur de shift à droite dans l
2 , qui à un
vecteur (u 1 , u 2 , · · ·) de l
2 associe le vecteur (0, u 1 , u 2 , · · ·), a un spectre résiduel
non vide.
Quand on traite d’un opérateur auto-adjoint, il arrive que l’on soit encore plus
précis, en subdivisant le spectre ponctuel en deux parties disjointes :
– ce qu’on appelle le spectre discret (noté σ disc (T )), formé des valeurs
propres isolées
4 , de multiplicité finie
5 ,
– et son complémentaire qui est donc formé des valeurs propres qui ne
sont pas isolées ou sont de multiplicité infinie (l’un n’étant pas exclusif
de l’autre)
Definition B.13. On appelle spectre essentiel (noté σ ess (T )) le complémentaire du spectre discret dans le spectre.
La caractérisation suivante du spectre essentiel, connue sous le nom de critère
de Weyl , peut être utile : un nombre complexe λ appartient à σ ess (T ) s’il
existe une suite (ψ n ) n∈I N d’éléments de D(T ) telle que : ψ n ≡ 1 pour tout
n ∈ IN, (ψ n ) n∈I N tend faiblement vers 0, (T ψ n − λψ n ) n∈I N tend fortement
vers 0.
Remarque B.6 On peut aussi identifier dans le spectre une partie dite
spectre absolument continu (noté σ abs (T )) et une partie dite spectre singulier
(noté σ sing (T )) ; ceci sera vu plus loin, lorsque nous verrons (rapidement) la
notion de mesure spectrale.
Que le lecteur se rassure, nous verrons que dans le cas particulier des opérateurs qui vont intervenir dans les modèles de Mécanique Quantique que nous
manipulerons, la plupart de ces diverses composantes sont vides. D’ailleurs,
commençons déjà à déblayer le terrain en mentionnant le résultat suivant
Proposition B.14. Dans un espace de Hilbert séparable, le spectre d’un opérateur auto-adjoint est contenu dans la droite réelle et son spectre résiduel est
vide.
La première assertion est bien sûr à rapprocher du fait qu’une matrice symétrique a toutes ses valeurs propres réelles (cf. Théorème B.1).
Comme dans la section précédente, testons maintenant les différentes notions
que nous avons acquises sur l’exemple canonique du Laplacien agissant sur
L
2 (IR
3 ). En tant qu’opérateur auto-adjoint, nous savons déjà que le Laplacien
4 C’est-à-dire des points du spectre ponctuel qui sont des points isolés du spectre
(tout court).
5 L’espace Ker(T − λI) est de dimension finie.