B.2 Définitions de base
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plus, dans ce cas, on peut montrer que ρ(T ) est un ouvert de C | . Autrement
dit, son complémentaire, le spectre de T , que nous allons définir ci-dessous est
un ensemble fermé.
A partir de là, on s’attend bien sûr à la définition suivante.
Definition B.11. Le spectre de T , noté σ(T ), est le complémentaire de ρ(T )
dans C | .
Si λ est élément du spectre, c’est parce qu’il ne vérifie pas l’ensemble des
trois assertions de la Définition B.10. Selon qu’il ne vérifie aucune des trois
assertions ou qu’il vérifie la première et pas la deuxième, ou encore qu’il vérifie
les deux premières et pas la troisième, on a donc la partition suivante du
spectre.
Definition B.12. Le spectre σ(T ) est la réunion disjointe de trois ensembles :
1. le spectre ponctuel (noté σ p (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T − λI
n’est pas inversible, c’est-à-dire n’est pas injectif ; de tels λ sont bien sûr
appelés les valeurs propres de T ,
2. le spectre résiduel (noté σ res (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T −λI
est bien inversible mais (T − λI)
−1 est de domaine non dense dans E,
3. le spectre continu (noté σ cont (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T −λI
est bien inversible, de domaine dense dans E, mais (T − λI)
−1 est non
borné.
Le moins que l’on puisse faire est de donner des exemples où apparaissent ces
fameux spectres continus et résiduels de la Définition B.12, le cas du spectre
ponctuel étant plus classique puisque, en dimension finie, spectre et spectre
ponctuel sont des notions identiques (si E est un espace de dimension finie,
tout opérateur linéaire T de E dans E est continu, et T est inversible si et
seulement si T est injectif). Nous reportons de tels exemples en exercice, le
corrigé pouvant être trouvé dans la bibliographie.
Exercice B.4 Montrer que l’opérateur f → x.f défini d’un sous-espace à
préciser de L
2 (IR) dans L
2 (IR), est auto-adjoint, que son spectre ponctuel et
son spectre résiduel sont vides, et que son spectre continu est la droite réelle.
On utilisera pour cela la suite
ϕ n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ϕ(x),
x ∈
λ −
1
n
, λ +
1
n
0,
x∈
λ −
1
n
, λ +
1
n
(B.4)
où φ désigne une fonction de D(IR).
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plus, dans ce cas, on peut montrer que ρ(T ) est un ouvert de C | . Autrement
dit, son complémentaire, le spectre de T , que nous allons définir ci-dessous est
un ensemble fermé.
A partir de là, on s’attend bien sûr à la définition suivante.
Definition B.11. Le spectre de T , noté σ(T ), est le complémentaire de ρ(T )
dans C | .
Si λ est élément du spectre, c’est parce qu’il ne vérifie pas l’ensemble des
trois assertions de la Définition B.10. Selon qu’il ne vérifie aucune des trois
assertions ou qu’il vérifie la première et pas la deuxième, ou encore qu’il vérifie
les deux premières et pas la troisième, on a donc la partition suivante du
spectre.
Definition B.12. Le spectre σ(T ) est la réunion disjointe de trois ensembles :
1. le spectre ponctuel (noté σ p (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T − λI
n’est pas inversible, c’est-à-dire n’est pas injectif ; de tels λ sont bien sûr
appelés les valeurs propres de T ,
2. le spectre résiduel (noté σ res (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T −λI
est bien inversible mais (T − λI)
−1 est de domaine non dense dans E,
3. le spectre continu (noté σ cont (T )) formés des λ ∈ σ(T ) pour lesquels T −λI
est bien inversible, de domaine dense dans E, mais (T − λI)
−1 est non
borné.
Le moins que l’on puisse faire est de donner des exemples où apparaissent ces
fameux spectres continus et résiduels de la Définition B.12, le cas du spectre
ponctuel étant plus classique puisque, en dimension finie, spectre et spectre
ponctuel sont des notions identiques (si E est un espace de dimension finie,
tout opérateur linéaire T de E dans E est continu, et T est inversible si et
seulement si T est injectif). Nous reportons de tels exemples en exercice, le
corrigé pouvant être trouvé dans la bibliographie.
Exercice B.4 Montrer que l’opérateur f → x.f défini d’un sous-espace à
préciser de L
2 (IR) dans L
2 (IR), est auto-adjoint, que son spectre ponctuel et
son spectre résiduel sont vides, et que son spectre continu est la droite réelle.
On utilisera pour cela la suite
ϕ n (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ϕ(x),
x ∈
λ −
1
n
, λ +
1
n
0,
x∈
λ −
1
n
, λ +
1
n
(B.4)
où φ désigne une fonction de D(IR).