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B Introduction à la théorie spectrale
{u ∈ L
2 (IR
3 ), −∆u ∈ L
2 (IR
3 )}, c’est-à-dire ni plus ni moins l’espace H
2 (IR
3 )
(raisonner par transformée de Fourier). On remarque bien sûr que ce
domaine est dense dans L
2 (IR
3 ). Sur ce domaine, l’opérateur est évidemment
non borné, car on peut sans difficulté trouver une suite (u n ) n∈I N de fonctions
de H
2 (IR
3 ), toutes de norme L
2 égale à un, telles que la suite des Laplaciens
explose en norme L
2 . En revanche, cet opérateur est fermé, car si une suite
(u n , −∆ u n ) n∈I N converge vers (u, v) dans L
2 (IR
3 ) × L
2 (IR
3 ) alors (−∆u n ) n∈I N
tend vers −∆u au sens des distributions et donc v = −∆u. De plus, cet opérateur est symétrique, puisque pour deux fonctions u et v de H
2 (IR
3 ), on peut
écrire
I R 3
−∆u v =
I R 3
−∆v u, par exemple en utilisant le fait que la transformée de Fourier est une isométrie sur L
2 . Toujours en utilisant la transformée
de Fourier, on montre sans peine en se basant sur la Définition B.5 de l’adjoint que l’opérateur −∆, défini sur le domaine H
2 (IR
3 ), est auto-adjoint sur
L
2 (IR
3 ).
L’application numéro un que nous allons faire de toute la théorie se fera sur
des opérateurs de type −∆+V où V est un opérateur de multiplication (qu’on
appelle un potentiel, pour des raisons physiques évidentes)
2 . De tels opérateurs
sont appelés opérateurs de Schrödinger . Le jeu auquel nous nous livrerons sera
donc de déterminer, en fonction des qualités de V , celles des propriétés de
l’opérateur −∆ qui se transmettront à l’opérateur de Schrödinger étudié.
B.2.2 Définition du spectre
On revient pour un instant au cas où l’espace ambiant est un Banach, et pas
nécessairement un Hilbert. On le note E pour que ce soit plus clair.
Soit T un opérateur non nécessairement borné de E dans E, de domaine D(T ).
On définit alors l’ensemble résolvant de T , de la façon suivante.
Definition B.10. L’ ensemble résolvant de T , noté ρ(T ), est l’ensemble des
complexes λ ∈ C | tels que
1. l’opérateur (T − λI)
−1 existe
3 (ceci ne signifie pas autre chose que : (T −
λI) est injectif de D(T ) dans E) ;
2. son domaine, à savoir l’image de D(T ) par T − λI, est dense dans E,
3. l’opérateur (T −λI)
−1 est continu de (T −λI)(D(T )), muni de la topologie
induite de E, dans E.
En fait, dans le cas où l’opérateur T est fermé, dire que λ appartient à ρ(T )
équivaut à dire que (T −λI)
−1 est un opérateur borné de E dans lui-même. De
2 Une des rares exceptions à cette règle sera l’opérateur de Fock, apparaissant dans
le modèle de Hartree-Fock, et qui comporte une partie non locale, correspondant
à la modélisation de l’échange électronique.
3 On l’appelle alors la résolvante de T , sous-entendu au point λ.
B Introduction à la théorie spectrale
{u ∈ L
2 (IR
3 ), −∆u ∈ L
2 (IR
3 )}, c’est-à-dire ni plus ni moins l’espace H
2 (IR
3 )
(raisonner par transformée de Fourier). On remarque bien sûr que ce
domaine est dense dans L
2 (IR
3 ). Sur ce domaine, l’opérateur est évidemment
non borné, car on peut sans difficulté trouver une suite (u n ) n∈I N de fonctions
de H
2 (IR
3 ), toutes de norme L
2 égale à un, telles que la suite des Laplaciens
explose en norme L
2 . En revanche, cet opérateur est fermé, car si une suite
(u n , −∆ u n ) n∈I N converge vers (u, v) dans L
2 (IR
3 ) × L
2 (IR
3 ) alors (−∆u n ) n∈I N
tend vers −∆u au sens des distributions et donc v = −∆u. De plus, cet opérateur est symétrique, puisque pour deux fonctions u et v de H
2 (IR
3 ), on peut
écrire
I R 3
−∆u v =
I R 3
−∆v u, par exemple en utilisant le fait que la transformée de Fourier est une isométrie sur L
2 . Toujours en utilisant la transformée
de Fourier, on montre sans peine en se basant sur la Définition B.5 de l’adjoint que l’opérateur −∆, défini sur le domaine H
2 (IR
3 ), est auto-adjoint sur
L
2 (IR
3 ).
L’application numéro un que nous allons faire de toute la théorie se fera sur
des opérateurs de type −∆+V où V est un opérateur de multiplication (qu’on
appelle un potentiel, pour des raisons physiques évidentes)
2 . De tels opérateurs
sont appelés opérateurs de Schrödinger . Le jeu auquel nous nous livrerons sera
donc de déterminer, en fonction des qualités de V , celles des propriétés de
l’opérateur −∆ qui se transmettront à l’opérateur de Schrödinger étudié.
B.2.2 Définition du spectre
On revient pour un instant au cas où l’espace ambiant est un Banach, et pas
nécessairement un Hilbert. On le note E pour que ce soit plus clair.
Soit T un opérateur non nécessairement borné de E dans E, de domaine D(T ).
On définit alors l’ensemble résolvant de T , de la façon suivante.
Definition B.10. L’ ensemble résolvant de T , noté ρ(T ), est l’ensemble des
complexes λ ∈ C | tels que
1. l’opérateur (T − λI)
−1 existe
3 (ceci ne signifie pas autre chose que : (T −
λI) est injectif de D(T ) dans E) ;
2. son domaine, à savoir l’image de D(T ) par T − λI, est dense dans E,
3. l’opérateur (T −λI)
−1 est continu de (T −λI)(D(T )), muni de la topologie
induite de E, dans E.
En fait, dans le cas où l’opérateur T est fermé, dire que λ appartient à ρ(T )
équivaut à dire que (T −λI)
−1 est un opérateur borné de E dans lui-même. De
2 Une des rares exceptions à cette règle sera l’opérateur de Fock, apparaissant dans
le modèle de Hartree-Fock, et qui comporte une partie non locale, correspondant
à la modélisation de l’échange électronique.
3 On l’appelle alors la résolvante de T , sous-entendu au point λ.