B.2 Définitions de base
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puissants dont on dispose. C’est cela qui justifie l’introduction de la notion
d’opérateur essentiellement auto-adjoint.
Comme il n’est pas toujours simple de montrer qu’un opérateur donné est
auto-adjoint, essentiellement auto-adjoint, ou encore jouit d’une propriété
donnée, on se ramène souvent à un problème plus simple en disant que l’opérateur en question est une “perturbation” d’un autre opérateur mieux connu.
Ainsi, le résultat qui vient peut s’avérer très utile. Avant de l’énoncer, nous
avons besoin de définir une “perturbation” dans ce contexte. Ceci fait l’objet
des deux définitions suivantes.
Definition B.7. Soient H 0 et K deux opérateurs non bornés sur un espace
de Hilbert H. On dit que K est H 0 -borné (ou relativement borné par rapport
à H 0 ) si D(H 0 ) ⊂ D(K) et s’il existe deux constantes a et b telles que
∀x ∈ D(H 0 ),
Kx ≤ aH 0 x + b x .
(B.3)
L’infimum des a tels que la propriété ci-dessus soit vraie est appelée la borne
relative de K par rapport à H 0 .
Definition B.8. Dans les mêmes conditions, K est dit H 0 -compact (ou relativement compact par rapport à H 0 ), si K est non seulement un opérateur
borné, mais un opérateur compact de D(H 0 ) muni de la norme du graphe
|x|
2 = H 0 x
2 + x
2 dans H.
Remarque B.2 Evidemment, un opérateur borné est relativement borné par
rapport à tout autre opérateur (de borne relative égale à 0) et un opérateur
compact est relativement compact par rapport à tout autre.
Dès lors, nous avons le
Théorème B.3 (dit de Kato-Rellich) Soit H 0 un opérateur auto-adjoint,
et K un opérateur symétrique H 0 -borné, de borne relative strictement inférieure à 1. Alors H = H 0 + K défini sur le domaine D(H) = D(H 0 ) est
auto-adjoint,
et aussi le résultat suivant
Proposition B.9. Soit H 0 un opérateur essentiellement auto-adjoint, et K
un opérateur symétrique H 0 -compact. Alors H = H 0 + K est essentiellement
auto-adjoint sur D(H 0 ).
Il n’est peut-être pas inutile de terminer cette section en faisant fonctionner
toutes ces notions sur l’exemple qui sera pour nous l’exemple canonique, à
savoir l’opérateur Laplacien, qui joue un rôle clé en Mécanique Quantique -
comme d’ailleurs dans beaucoup d’autres domaines de la Physique. Considérons donc l’opérateur −∆ sur l’espace L
2 (IR
3 ). Son domaine est par définition
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puissants dont on dispose. C’est cela qui justifie l’introduction de la notion
d’opérateur essentiellement auto-adjoint.
Comme il n’est pas toujours simple de montrer qu’un opérateur donné est
auto-adjoint, essentiellement auto-adjoint, ou encore jouit d’une propriété
donnée, on se ramène souvent à un problème plus simple en disant que l’opérateur en question est une “perturbation” d’un autre opérateur mieux connu.
Ainsi, le résultat qui vient peut s’avérer très utile. Avant de l’énoncer, nous
avons besoin de définir une “perturbation” dans ce contexte. Ceci fait l’objet
des deux définitions suivantes.
Definition B.7. Soient H 0 et K deux opérateurs non bornés sur un espace
de Hilbert H. On dit que K est H 0 -borné (ou relativement borné par rapport
à H 0 ) si D(H 0 ) ⊂ D(K) et s’il existe deux constantes a et b telles que
∀x ∈ D(H 0 ),
Kx ≤ aH 0 x + b x .
(B.3)
L’infimum des a tels que la propriété ci-dessus soit vraie est appelée la borne
relative de K par rapport à H 0 .
Definition B.8. Dans les mêmes conditions, K est dit H 0 -compact (ou relativement compact par rapport à H 0 ), si K est non seulement un opérateur
borné, mais un opérateur compact de D(H 0 ) muni de la norme du graphe
|x|
2 = H 0 x
2 + x
2 dans H.
Remarque B.2 Evidemment, un opérateur borné est relativement borné par
rapport à tout autre opérateur (de borne relative égale à 0) et un opérateur
compact est relativement compact par rapport à tout autre.
Dès lors, nous avons le
Théorème B.3 (dit de Kato-Rellich) Soit H 0 un opérateur auto-adjoint,
et K un opérateur symétrique H 0 -borné, de borne relative strictement inférieure à 1. Alors H = H 0 + K défini sur le domaine D(H) = D(H 0 ) est
auto-adjoint,
et aussi le résultat suivant
Proposition B.9. Soit H 0 un opérateur essentiellement auto-adjoint, et K
un opérateur symétrique H 0 -compact. Alors H = H 0 + K est essentiellement
auto-adjoint sur D(H 0 ).
Il n’est peut-être pas inutile de terminer cette section en faisant fonctionner
toutes ces notions sur l’exemple qui sera pour nous l’exemple canonique, à
savoir l’opérateur Laplacien, qui joue un rôle clé en Mécanique Quantique -
comme d’ailleurs dans beaucoup d’autres domaines de la Physique. Considérons donc l’opérateur −∆ sur l’espace L
2 (IR
3 ). Son domaine est par définition