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B Introduction à la théorie spectrale
Une autre notion pourra aussi nous être utile :
Definition B.4. On dit qu’un opérateur T de E dans F de domaine D(T )
est fermé si son graphe, c’est-à-dire l’ensemble
Γ (T ) = {(u, T u), u ∈ D(T )} ,
est un fermé de E × F .
A partir de là, nous pouvons donner (enfin) la définition d’un opérateur autoadjoint. On se place maintenant dans le cas où l’opérateur T va d’un espace de
Hilbert H dans lui-même. Dans toute la suite de cette annexe, nous désignons
par (·, ·) le produit scalaire sur H, et par · · la norme associée.
Definition B.5. Soit H un Hilbert et T un opérateur sur H à domaine dense.
Soit D(T
∗ ) l’ensemble défini par
D(T
∗ ) = {u ∈ H, ∃v ∈ H, (T w, u) = (w, v), ∀w ∈ D(T )} .
L’opérateur linéaire T
∗ sur H à domaine D(T
∗ ) défini par
T
∗ u = v
(si v existe, v est unique par le théorème de Riesz) est appelé l’adjoint de T .
Evidemment, si l’opérateur T est défini sur tout l’espace H, on retrouve la
définition classique de l’opérateur adjoint d’un opérateur borné.
Definition B.6. On dit pour un opérateur T à domaine D(T ) dense
– que T est symétrique si T
∗ est une extension de T , autrement dit si
∀(u, v) ∈ D(T ) × D(T ),
(T u, v) = (u, T v) ;
– que T est auto-adjoint si T
∗ = T ;
– que T est essentiellement auto-adjoint si T
∗ admet une unique extension
auto-adjointe ;
– que T est hermitien si T est auto-adjoint et D(T ) = H.
Dans la pratique la physique fournit des opérateurs “formellement” symétriques, c’est-à-dire symétriques si on les définit sur un espace de fonctions
très régulières (comme D(IR
3 )). Or c’est pour les opérateurs auto-adjoints
qu’on dispose de propriétés mathématiques vraiment intéressantes (théorème
de décomposition spectrale, théorème de Stone, calcul fonctionnel, ...). Quand
on est face à un opérateur “formellement” symétrique T issu d’un problème
physique et qu’on définit dans un premier temps sur un espace de fonctions
très régulières, il faut donc se demander si cet opérateur se prolonge (de façon
unique) en un opérateur auto-adjoint auquel on pourra appliquer les résultats
B Introduction à la théorie spectrale
Une autre notion pourra aussi nous être utile :
Definition B.4. On dit qu’un opérateur T de E dans F de domaine D(T )
est fermé si son graphe, c’est-à-dire l’ensemble
Γ (T ) = {(u, T u), u ∈ D(T )} ,
est un fermé de E × F .
A partir de là, nous pouvons donner (enfin) la définition d’un opérateur autoadjoint. On se place maintenant dans le cas où l’opérateur T va d’un espace de
Hilbert H dans lui-même. Dans toute la suite de cette annexe, nous désignons
par (·, ·) le produit scalaire sur H, et par · · la norme associée.
Definition B.5. Soit H un Hilbert et T un opérateur sur H à domaine dense.
Soit D(T
∗ ) l’ensemble défini par
D(T
∗ ) = {u ∈ H, ∃v ∈ H, (T w, u) = (w, v), ∀w ∈ D(T )} .
L’opérateur linéaire T
∗ sur H à domaine D(T
∗ ) défini par
T
∗ u = v
(si v existe, v est unique par le théorème de Riesz) est appelé l’adjoint de T .
Evidemment, si l’opérateur T est défini sur tout l’espace H, on retrouve la
définition classique de l’opérateur adjoint d’un opérateur borné.
Definition B.6. On dit pour un opérateur T à domaine D(T ) dense
– que T est symétrique si T
∗ est une extension de T , autrement dit si
∀(u, v) ∈ D(T ) × D(T ),
(T u, v) = (u, T v) ;
– que T est auto-adjoint si T
∗ = T ;
– que T est essentiellement auto-adjoint si T
∗ admet une unique extension
auto-adjointe ;
– que T est hermitien si T est auto-adjoint et D(T ) = H.
Dans la pratique la physique fournit des opérateurs “formellement” symétriques, c’est-à-dire symétriques si on les définit sur un espace de fonctions
très régulières (comme D(IR
3 )). Or c’est pour les opérateurs auto-adjoints
qu’on dispose de propriétés mathématiques vraiment intéressantes (théorème
de décomposition spectrale, théorème de Stone, calcul fonctionnel, ...). Quand
on est face à un opérateur “formellement” symétrique T issu d’un problème
physique et qu’on définit dans un premier temps sur un espace de fonctions
très régulières, il faut donc se demander si cet opérateur se prolonge (de façon
unique) en un opérateur auto-adjoint auquel on pourra appliquer les résultats