B.2 Définitions de base
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B.2 Définitions de base
B.2.1 Théorie des opérateurs
Commençons par rappeler qu’une application linéaire T entre deux espaces
de Banach E et F est appelée aussi un opérateur entre ces espaces. On a alors
Definition B.1. Si
sup
x =0∈E
T x F
x E
< +∞,
(B.2)
on dit que T est un opérateur borné, ce qui, dans ce contexte, signifie continu.
On a alors une notion qui va au-delà de la continuité, c’est la compacité.
Definition B.2. L’opérateur borné T est dit compact si l’image de la boule
unité de E est non seulement bornée dans F , mais qu’elle y est relativement
compacte, c’est-à-dire qu’elle est contenue dans un compact.
Profitons-en pour faire un avertissement, valable dans toute cette annexe :
quand on parle d’ensemble borné, compact, quand on parle de continuité,
etc,... il est toujours sous-entendu pour la topologie naturelle des espaces ambiants (en l’occurence la topologie de la norme). Se tromper de topologie rend
l’exposé incompréhensible, et le résultat presque toujours faux !
Si on parle d’opérateurs bornés, c’est bien sûr parce que tous ne le sont pas
(cf. notre première observation de la Section B.1). Pour de tels opérateurs, on
va être amené à introduire la notion de domaine, qui est l’ensemble des points
“où tout va bien se passer”. Plus précisément, on définit D(T ), le domaine de
l’opérateur T comme le sous-espace de l’espace E sur lequel T peut être défini
et prend ses valeurs dans F . Dans le cas où on ne peut pas prendre D(T ) = E,
l’opérateur T est dit non borné. Très souvent, on rencontre le cas où D(T )
est seulement dense dans E, mais pas égal à E. On dira alors que T est à
domaine dense. Par exemple, pour définir l’opérateur Laplacien de L
2 (IR
3 )
dans lui-même, opérateur qui à une fonction L
2 (IR
3 ) associe son Laplacien au
sens des distributions, on ne peut pas se placer sur tout L
2 (IR
3 ). Le domaine
D(T ) de cet opérateur est en fait H
2 (IR
3 ), et on est effectivement dans un cas
d’opérateur à domaine dense.
Une notion qui nous sera utile est celle de l’extension d’un opérateur. Bien
sûr, c’est la notion à laquelle tout le monde pense :
Definition B.3. On dira que T 2 est une extension de T 1 si le domaine de T 2
contient celui de T 1 et si les deux opérateurs coïncident sur le domaine de T 1 .
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B.2 Définitions de base
B.2.1 Théorie des opérateurs
Commençons par rappeler qu’une application linéaire T entre deux espaces
de Banach E et F est appelée aussi un opérateur entre ces espaces. On a alors
Definition B.1. Si
sup
x =0∈E
T x F
x E
< +∞,
(B.2)
on dit que T est un opérateur borné, ce qui, dans ce contexte, signifie continu.
On a alors une notion qui va au-delà de la continuité, c’est la compacité.
Definition B.2. L’opérateur borné T est dit compact si l’image de la boule
unité de E est non seulement bornée dans F , mais qu’elle y est relativement
compacte, c’est-à-dire qu’elle est contenue dans un compact.
Profitons-en pour faire un avertissement, valable dans toute cette annexe :
quand on parle d’ensemble borné, compact, quand on parle de continuité,
etc,... il est toujours sous-entendu pour la topologie naturelle des espaces ambiants (en l’occurence la topologie de la norme). Se tromper de topologie rend
l’exposé incompréhensible, et le résultat presque toujours faux !
Si on parle d’opérateurs bornés, c’est bien sûr parce que tous ne le sont pas
(cf. notre première observation de la Section B.1). Pour de tels opérateurs, on
va être amené à introduire la notion de domaine, qui est l’ensemble des points
“où tout va bien se passer”. Plus précisément, on définit D(T ), le domaine de
l’opérateur T comme le sous-espace de l’espace E sur lequel T peut être défini
et prend ses valeurs dans F . Dans le cas où on ne peut pas prendre D(T ) = E,
l’opérateur T est dit non borné. Très souvent, on rencontre le cas où D(T )
est seulement dense dans E, mais pas égal à E. On dira alors que T est à
domaine dense. Par exemple, pour définir l’opérateur Laplacien de L
2 (IR
3 )
dans lui-même, opérateur qui à une fonction L
2 (IR
3 ) associe son Laplacien au
sens des distributions, on ne peut pas se placer sur tout L
2 (IR
3 ). Le domaine
D(T ) de cet opérateur est en fait H
2 (IR
3 ), et on est effectivement dans un cas
d’opérateur à domaine dense.
Une notion qui nous sera utile est celle de l’extension d’un opérateur. Bien
sûr, c’est la notion à laquelle tout le monde pense :
Definition B.3. On dira que T 2 est une extension de T 1 si le domaine de T 2
contient celui de T 1 et si les deux opérateurs coïncident sur le domaine de T 1 .