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B Introduction à la théorie spectrale
Comme nous ne pouvons pas attaquer de façon abrupte l’étude d’un opérateur du type (B.1), ou pis encore l’étude d’un opérateur comme l’opérateur
de Fock, nous allons procéder par étapes. Nous verrons d’abord quelles sont
les différences cruciales entre l’étude du spectre d’un opérateur en dimension
finie et en dimension infinie. D’un point de vue intuitif, c’est là que se situera la véritable “révolution culturelle” pour le lecteur novice en ce domaine.
Nous reverrons à cette occasion quelques définitions de base de la théorie des
opérateurs de dimension infinie. Dès lors, nous nous restreindrons pour la
suite au cas des opérateurs auto-adjoints. Nous verrons ce qu’il en est pour le
spectre d’un opérateur auto-adjoint compact (nous définirons ce terme), pour
le spectre d’un opérateur auto-adjoint dont l’inverse est compact, et enfin
pour le spectre d’un opérateur auto-adjoint quelconque.
B.1 La dimension infinie n’est pas la dimension finie
Commençons par une liste d’observations de base, stigmatisant les différences
entre la dimension finie et la dimension infinie (dans le contexte qui nous intéresse, bien sûr)
1 . Certaines de ces observations sont reliées (elles sont plusieurs
facettes d’un même phénomène), voire redondantes.
– En dimension infinie, une application linéaire n’est pas forcément continue.
– En dimension infinie, toutes les normes ne sont pas équivalentes.
– En dimension infinie, la boule unité fermée n’est pas compacte.
– En dimension infinie, il n’y a pas équivalence pour une application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même entre le caractère injectif et le
caractère surjectif. En d’autres termes, si E désigne un espace vectoriel
de dimension infinie, ce n’est pas parce que le noyau d’un opérateur T
de E dans E est réduit à {0} qu’on peut forcément inverser T .
– En dimension infinie, on peut très bien avoir un opérateur A tel que
(Ax, x) > 0 pour tout vecteur x = 0, et pourtant n’avoir l’existence
d’aucune constante c > 0 telle que (Ax, x) ≥ cx
2 . Penser par exemple
à l’application ϕ →
I R 3
|∇ϕ|
2 définie sur H
1 (IR
3 ), que l’on testera sur
des fonctions ϕ σ (·) = σ
3/2 ϕ 0 (σ·) où ϕ 0 est une fonction fixée.
Ces observations devraient suffire à semer le trouble dans la pensée du lecteur. Très bien. Avançons donc prudemment dans ce contexte de la dimension
infinie.
1 Nous conseillons au lecteur de chercher pour chacune d’entre elles un exemple.
B Introduction à la théorie spectrale
Comme nous ne pouvons pas attaquer de façon abrupte l’étude d’un opérateur du type (B.1), ou pis encore l’étude d’un opérateur comme l’opérateur
de Fock, nous allons procéder par étapes. Nous verrons d’abord quelles sont
les différences cruciales entre l’étude du spectre d’un opérateur en dimension
finie et en dimension infinie. D’un point de vue intuitif, c’est là que se situera la véritable “révolution culturelle” pour le lecteur novice en ce domaine.
Nous reverrons à cette occasion quelques définitions de base de la théorie des
opérateurs de dimension infinie. Dès lors, nous nous restreindrons pour la
suite au cas des opérateurs auto-adjoints. Nous verrons ce qu’il en est pour le
spectre d’un opérateur auto-adjoint compact (nous définirons ce terme), pour
le spectre d’un opérateur auto-adjoint dont l’inverse est compact, et enfin
pour le spectre d’un opérateur auto-adjoint quelconque.
B.1 La dimension infinie n’est pas la dimension finie
Commençons par une liste d’observations de base, stigmatisant les différences
entre la dimension finie et la dimension infinie (dans le contexte qui nous intéresse, bien sûr)
1 . Certaines de ces observations sont reliées (elles sont plusieurs
facettes d’un même phénomène), voire redondantes.
– En dimension infinie, une application linéaire n’est pas forcément continue.
– En dimension infinie, toutes les normes ne sont pas équivalentes.
– En dimension infinie, la boule unité fermée n’est pas compacte.
– En dimension infinie, il n’y a pas équivalence pour une application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même entre le caractère injectif et le
caractère surjectif. En d’autres termes, si E désigne un espace vectoriel
de dimension infinie, ce n’est pas parce que le noyau d’un opérateur T
de E dans E est réduit à {0} qu’on peut forcément inverser T .
– En dimension infinie, on peut très bien avoir un opérateur A tel que
(Ax, x) > 0 pour tout vecteur x = 0, et pourtant n’avoir l’existence
d’aucune constante c > 0 telle que (Ax, x) ≥ cx
2 . Penser par exemple
à l’application ϕ →
I R 3
|∇ϕ|
2 définie sur H
1 (IR
3 ), que l’on testera sur
des fonctions ϕ σ (·) = σ
3/2 ϕ 0 (σ·) où ϕ 0 est une fonction fixée.
Ces observations devraient suffire à semer le trouble dans la pensée du lecteur. Très bien. Avançons donc prudemment dans ce contexte de la dimension
infinie.
1 Nous conseillons au lecteur de chercher pour chacune d’entre elles un exemple.