B
Introduction à la théorie spectrale
Le but de cette annexe est de rappeler en quelques pages les bases de la théorie
spectrale qui nous seront utiles pour analyser des opérateurs apparaissant
dans les modèles de Mécanique Quantique que nous manipulerons, à savoir
les opérateurs, dits de Schrödinger, de la forme
H = −∆ + V,
(B.1)
où V = V (x) est un potentiel multiplicatif. Le plus souvent, ces opérateurs
agissent sur un espace comme L
2 (R
3 ). Ponctuellement, il nous arrivera de
traiter d’opérateurs plus généraux (comme l’opérateur de Fock), mais les opérateurs de Schrödinger resteront notre centre d’intérêt principal.
Nous allons montrer qu’un opérateur H de la forme (B.1) admet typiquement
comme spectre (c’est-à-dire comme ensemble de “valeurs propres”, en un sens
étendu qui sera précisé plus loin) l’ensemble suivant (voir Figure B.2) : une
suite croissante de valeurs propres (réelles) partant du niveau fondamental
de H, et tendant vers la “limite” du potentiel V à l’infini (par exemple pour
le potentiel de Coulomb V (x) = −
1
|x|
, cette limite vaut zéro), puis au delà
un continuum formé par la demi-droite réelle commençant à cette limite du
potentiel V à l’infini. Tout ceci sera évidemment précisé plus loin. De même,
on dira quelques mots sur les cas (plus compliqués) où le potentiel V n’admet
pas de limite à l’infini.
En même temps que nous identifierons le spectre de l’opérateur, nous expliquerons comment décomposer l’espace ambiant suivant ce spectre. La propriété
qui jouera un rôle crucial dans tout cela est que l’opérateur H est auto-adjoint
(en un sens proche de celui que le lecteur connaît, et qui sera lui-aussi précisé
plus loin). De façon heuristique, nous allons étendre au cadre d’un espace de
Hilbert de dimension infinie le célèbre théorème d’algèbre linéaire
Théorème B.1 Toute matrice symétrique réelle (ou hermitienne complexe)
a toutes ses valeurs propres réelles et est diagonalisable dans une base orthonormée.
Introduction à la théorie spectrale
Le but de cette annexe est de rappeler en quelques pages les bases de la théorie
spectrale qui nous seront utiles pour analyser des opérateurs apparaissant
dans les modèles de Mécanique Quantique que nous manipulerons, à savoir
les opérateurs, dits de Schrödinger, de la forme
H = −∆ + V,
(B.1)
où V = V (x) est un potentiel multiplicatif. Le plus souvent, ces opérateurs
agissent sur un espace comme L
2 (R
3 ). Ponctuellement, il nous arrivera de
traiter d’opérateurs plus généraux (comme l’opérateur de Fock), mais les opérateurs de Schrödinger resteront notre centre d’intérêt principal.
Nous allons montrer qu’un opérateur H de la forme (B.1) admet typiquement
comme spectre (c’est-à-dire comme ensemble de “valeurs propres”, en un sens
étendu qui sera précisé plus loin) l’ensemble suivant (voir Figure B.2) : une
suite croissante de valeurs propres (réelles) partant du niveau fondamental
de H, et tendant vers la “limite” du potentiel V à l’infini (par exemple pour
le potentiel de Coulomb V (x) = −
1
|x|
, cette limite vaut zéro), puis au delà
un continuum formé par la demi-droite réelle commençant à cette limite du
potentiel V à l’infini. Tout ceci sera évidemment précisé plus loin. De même,
on dira quelques mots sur les cas (plus compliqués) où le potentiel V n’admet
pas de limite à l’infini.
En même temps que nous identifierons le spectre de l’opérateur, nous expliquerons comment décomposer l’espace ambiant suivant ce spectre. La propriété
qui jouera un rôle crucial dans tout cela est que l’opérateur H est auto-adjoint
(en un sens proche de celui que le lecteur connaît, et qui sera lui-aussi précisé
plus loin). De façon heuristique, nous allons étendre au cadre d’un espace de
Hilbert de dimension infinie le célèbre théorème d’algèbre linéaire
Théorème B.1 Toute matrice symétrique réelle (ou hermitienne complexe)
a toutes ses valeurs propres réelles et est diagonalisable dans une base orthonormée.