B.6 Autres compléments
391
0
gaps
bandes de spectre continu
Fig. B.3. Le spectre d’un opérateur du type −∆ + Vper sur L
2 (IR
3 ).
Dans cette situation, il est immédiat de voir que le “potentiel” ne tend pas
vers une limite à l’infini dans IR
3N : il suffit de considérer des (x i , x j ) qui s’en
vont à l’infini en restant proches l’un de l’autre. La situation est alors très
complexe.
Le second cas est celui où le potentiel V est pris périodique. L’opérateur
H = −∆ + V per
(B.29)
peut alors par exemple modéliser un électron dans un solide. L’effet d’un
potentiel périodique est d’ouvrir des trous dans le spectre essentiel du Laplacien [0, +∞[, menant ainsi à un spectre essentiel comme celui indiqué sur la
Figure B.3. On appelle ces trous des gaps. L’étude de tels opérateurs conduit à
la théorie des bandes, laquelle théorie explique notamment le caractère isolant,
semi-conducteur ou conducteur d’un matériau cristallin. Là encore, l’étude
mathématique est beaucoup plus compliquée que celle que nous avons menée.
Elle n’est pas éloignée de choses que nous exposons au Chapitre 10.
Enfin, signalons en marge de ces deux exemples que bien sûr toute la Mécanique Quantique ne relève pas des opérateurs de Schrödinger −∆ + V . Ainsi,
dans le cas où on considère des molécules dans une théorie quantique relativiste, ce n’est plus le Laplacien qui joue un rôle central, mais l’opérateur de
Dirac, qui présente la difficulté nouvelle d’être un opérateur non minoré, dont
le spectre essentiel est ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[. Et ça, c’est une autre histoire !
0
–1
1
Fig. B.4. Le spectre de l’opérateur de Dirac sur L
2 (IR
3 ).
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bandes de spectre continu
Fig. B.3. Le spectre d’un opérateur du type −∆ + Vper sur L
2 (IR
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Dans cette situation, il est immédiat de voir que le “potentiel” ne tend pas
vers une limite à l’infini dans IR
3N : il suffit de considérer des (x i , x j ) qui s’en
vont à l’infini en restant proches l’un de l’autre. La situation est alors très
complexe.
Le second cas est celui où le potentiel V est pris périodique. L’opérateur
H = −∆ + V per
(B.29)
peut alors par exemple modéliser un électron dans un solide. L’effet d’un
potentiel périodique est d’ouvrir des trous dans le spectre essentiel du Laplacien [0, +∞[, menant ainsi à un spectre essentiel comme celui indiqué sur la
Figure B.3. On appelle ces trous des gaps. L’étude de tels opérateurs conduit à
la théorie des bandes, laquelle théorie explique notamment le caractère isolant,
semi-conducteur ou conducteur d’un matériau cristallin. Là encore, l’étude
mathématique est beaucoup plus compliquée que celle que nous avons menée.
Elle n’est pas éloignée de choses que nous exposons au Chapitre 10.
Enfin, signalons en marge de ces deux exemples que bien sûr toute la Mécanique Quantique ne relève pas des opérateurs de Schrödinger −∆ + V . Ainsi,
dans le cas où on considère des molécules dans une théorie quantique relativiste, ce n’est plus le Laplacien qui joue un rôle central, mais l’opérateur de
Dirac, qui présente la difficulté nouvelle d’être un opérateur non minoré, dont
le spectre essentiel est ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[. Et ça, c’est une autre histoire !
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Fig. B.4. Le spectre de l’opérateur de Dirac sur L
2 (IR
3 ).