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A Introduction à la mécanique quantique
R OO
f HOH
f HOH
R OH
R OH
O
O
H
H
w HOOH
R OO
f HOH
w HOOH
R OH = 1.855 u.a.
= 2.792 u.a.
= 100.0
= 119.1
o
o
Fig. A.7. Représentation à l’aide de coordonnées internes de l’état fondamental de
la molécule d’eau oxygénée (valeurs expérimentales [106]).
l’hamiltonien nucléaire étant donné par
H n = −
1
2m 1
∆ ¯
x1 −
1
2m 2
∆ ¯
x2 + W (¯ x 1 , ¯
x 2 ).
Effectuons le changement de coordonnées défini dans IR
6 par
¯
x G =
m 1
m 1 + m 2
¯
x 1 +
m 2
m 1 + m 2
¯
x 2 ,
¯
x = ¯
x 2 − ¯
x 1 ,
de façon à isoler le mouvement libre du centre de masse. Dans ce système de
coordonnées, un calcul simple montre que l’hamiltonien du système s’écrit
H n = −
1
2m
∆ ¯
xG −
1
2µ
∆ ¯
x +
W (|¯ x|),
avec m = m 1 + m 2 et µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ). Le potentiel
W (|¯ x|) = W (¯ x 1 , ¯
x 2 )
ne dépend effectivement que du module de ¯
x en raison de l’invariance par
translation et par rotation ; on suppose ici, comme c’est d’ailleurs le cas en
pratique, que la fonction
W admet un unique minimum global r 0 sur IR
+ .
Le problème (A.28) se récrit dans les nouvelles coordonnées
inf
1
2m
I R 3
|∇ ¯
xG ψ n |
2 +
1
2µ
I R 3
|∇ ¯
x ψ n |
2
+
I R 3
W |ψ n |
2 , ψ n ∈ L
2 (IR
6 , C | ), ψ n = 1
.
Comme les masses des noyaux, et donc de ce fait les masses m et µ sont
grandes devant 1, il est raisonnable d’affirmer que pour approcher l’infimum du