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A Introduction à la mécanique quantique
noyau k en ¯
x k dans l’état de spin ¯
σ k et l’électron i en x i dans l’état de spin
σ i pour tout 1 ≤ k ≤ M et tout 1 ≤ i ≤ N .
Rappelons que toutes les fonctions Ψ de la forme (A.17) ne décrivent pas un
état physiquement admissible du système. Pour cela, Ψ (t, ·) doit vérifier à tout
instant t les deux propriétés suivantes :
– Propriété 1. Etre normée pour la norme L
2 , c’est-à-dire vérifier
Ψ (t, ·)
2 =
I R 3M
d¯ x 1 · · · d¯ x M
¯
σ1···¯ σM
I R 3N
dx 1 · · · dx N
σ1···σN
|Ψ (t; ¯
x 1 , ¯
σ 1 ; · · · ; ¯
x M , ¯
σ M ; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2 = 1.
Cette propriété se déduit directement de l’interprétation de |Ψ (t, ·)|
2 en
termes de densité de probabilité.
– Propriété 2. Respecter le principe d’indiscernabilité des particules identiques
19 . Plus précisément, la fonction d’onde Ψ (t, ·) doit être
– symétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin
de deux particules identiques si ces particules sont des bosons, c’est-àdire des particules de spin entier. Dans le cadre que nous considérons
ici, les bosons sont les noyaux comportant un nombre pair de nucléons ;
– antisymétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de
spin de deux particules identiques si ces particules sont des fermions,
c’est-à-dire des particules de spin demi-entier. Ici, les fermions sont
les noyaux comportant un nombre impair de nucléons et les électrons.
En particulier, Ψ (t, ·) doit donc être complètement antisymétrique par
rapport à l’échange des coordonnées d’espace et de spin des électrons :
Ψ (t; {¯ x k , ¯
σ k } ; x p(1) , σ p(1) ; x p(2) , σ p(2) ; · · · ; x p(N ) , σ p(N ) ) (A.18)
= (p)Ψ (t; {¯ x k , ¯
σ k } ; x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ; · · · ; x N , σ N ),
p désignant une permutation quelconque des indices électroniques
{1, 2, · · · , N}, et (p) sa signature.
L’évolution en temps du système est régie par l’équation de Schrödinger
i ∂ t Ψ = H Ψ,
(A.19)
dans laquelle l’opérateur
H = −
M
k=1
1
2 m k
∆ ¯
x k −
N
i=1
1
2
∆ xi −
N
i=1
M
k=1
z k
|x i − ¯
x k |
(A.20)
+
1≤i
|x i − x j |
+
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
19 Les électrons sont des particules identiques. Deux noyaux sont identiques s’ils
comportent le même nombre de protons et le même nombre de neutrons, si bien
que les noyaux de deux isotopes différents d’un même élément ne sont pas des
particules identiques.
A Introduction à la mécanique quantique
noyau k en ¯
x k dans l’état de spin ¯
σ k et l’électron i en x i dans l’état de spin
σ i pour tout 1 ≤ k ≤ M et tout 1 ≤ i ≤ N .
Rappelons que toutes les fonctions Ψ de la forme (A.17) ne décrivent pas un
état physiquement admissible du système. Pour cela, Ψ (t, ·) doit vérifier à tout
instant t les deux propriétés suivantes :
– Propriété 1. Etre normée pour la norme L
2 , c’est-à-dire vérifier
Ψ (t, ·)
2 =
I R 3M
d¯ x 1 · · · d¯ x M
¯
σ1···¯ σM
I R 3N
dx 1 · · · dx N
σ1···σN
|Ψ (t; ¯
x 1 , ¯
σ 1 ; · · · ; ¯
x M , ¯
σ M ; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2 = 1.
Cette propriété se déduit directement de l’interprétation de |Ψ (t, ·)|
2 en
termes de densité de probabilité.
– Propriété 2. Respecter le principe d’indiscernabilité des particules identiques
19 . Plus précisément, la fonction d’onde Ψ (t, ·) doit être
– symétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin
de deux particules identiques si ces particules sont des bosons, c’est-àdire des particules de spin entier. Dans le cadre que nous considérons
ici, les bosons sont les noyaux comportant un nombre pair de nucléons ;
– antisymétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de
spin de deux particules identiques si ces particules sont des fermions,
c’est-à-dire des particules de spin demi-entier. Ici, les fermions sont
les noyaux comportant un nombre impair de nucléons et les électrons.
En particulier, Ψ (t, ·) doit donc être complètement antisymétrique par
rapport à l’échange des coordonnées d’espace et de spin des électrons :
Ψ (t; {¯ x k , ¯
σ k } ; x p(1) , σ p(1) ; x p(2) , σ p(2) ; · · · ; x p(N ) , σ p(N ) ) (A.18)
= (p)Ψ (t; {¯ x k , ¯
σ k } ; x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ; · · · ; x N , σ N ),
p désignant une permutation quelconque des indices électroniques
{1, 2, · · · , N}, et (p) sa signature.
L’évolution en temps du système est régie par l’équation de Schrödinger
i ∂ t Ψ = H Ψ,
(A.19)
dans laquelle l’opérateur
H = −
M
k=1
1
2 m k
∆ ¯
x k −
N
i=1
1
2
∆ xi −
N
i=1
M
k=1
z k
|x i − ¯
x k |
(A.20)
+
1≤i
|x i − x j |
+
1≤k
|¯ x k − ¯
x l |
19 Les électrons sont des particules identiques. Deux noyaux sont identiques s’ils
comportent le même nombre de protons et le même nombre de neutrons, si bien
que les noyaux de deux isotopes différents d’un même élément ne sont pas des
particules identiques.