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A Introduction à la mécanique quantique
– ou bien le vecteur d’état ψ vit dans l’espace H = H S , ce qui signifie que
la fonction d’onde est toujours symétrique :
ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ) = ψ(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ),
et on dit que les particules sont des bosons ;
– ou bien il vit dans l’espace H = H A , ce qui signifie que la fonction d’onde
est toujours antisymétrique :
ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ) = −ψ(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ),
et on dit alors que les particules sont des fermions.
Le comportement collectif d’un ensemble de particules indiscernables est complètement conditionné par le fait que ces particules sont des bosons et des
fermions. Supposons ainsi par exemple que les deux particules soient des fermions. Une conséquence de l’antisymétrie de la fonction d’onde est que
∀(x, σ) ∈ IR
3
× Σ,
ψ(x, σ; x, σ) = 0.
La densité de probabilité de mesurer simultanément les deux particules au
même endroit de l’espace dans le même état de spin est nulle : c’est le fameux
principe d’exclusion de Pauli. De façon plus générale, on peut dire qu’on ne
peut pas trouver deux fermions identiques au même moment dans le même
état. A l’inverse, mais c’est un peu plus difficile à voir, les bosons ont un
comportement grégaire : la probabilité de trouver un boson dans un certain
état sera d’autant plus élevée que le nombre de bosons occupant déjà cet état
est grand.
Une propriété remarquable, qui se démontre dans le cadre de la théorie quantique des champs, établit un lien simple et direct entre spin et comportement
statistique (bosonique ou fermionique) :
– les bosons sont les particules de spin entier ;
– les fermions sont les particules de spin demi-entier.
La généralisation de ce qui précède à un système comportant plusieurs particules éventuellement de différentes natures s’exprime de la façon suivante : le
système est décrit par une fonction d’onde
ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N ),
normalisée au sens (A.16), qui est
– symétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin de
deux particules indiscernables si ces particules sont des bosons, c’est-àdire des particules de spin entier ;
– antisymétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de
spin de deux particules identiques si ces particules sont des fermions,
c’est-à-dire des particules de spin demi-entier.
A Introduction à la mécanique quantique
– ou bien le vecteur d’état ψ vit dans l’espace H = H S , ce qui signifie que
la fonction d’onde est toujours symétrique :
ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ) = ψ(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ),
et on dit que les particules sont des bosons ;
– ou bien il vit dans l’espace H = H A , ce qui signifie que la fonction d’onde
est toujours antisymétrique :
ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ) = −ψ(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ),
et on dit alors que les particules sont des fermions.
Le comportement collectif d’un ensemble de particules indiscernables est complètement conditionné par le fait que ces particules sont des bosons et des
fermions. Supposons ainsi par exemple que les deux particules soient des fermions. Une conséquence de l’antisymétrie de la fonction d’onde est que
∀(x, σ) ∈ IR
3
× Σ,
ψ(x, σ; x, σ) = 0.
La densité de probabilité de mesurer simultanément les deux particules au
même endroit de l’espace dans le même état de spin est nulle : c’est le fameux
principe d’exclusion de Pauli. De façon plus générale, on peut dire qu’on ne
peut pas trouver deux fermions identiques au même moment dans le même
état. A l’inverse, mais c’est un peu plus difficile à voir, les bosons ont un
comportement grégaire : la probabilité de trouver un boson dans un certain
état sera d’autant plus élevée que le nombre de bosons occupant déjà cet état
est grand.
Une propriété remarquable, qui se démontre dans le cadre de la théorie quantique des champs, établit un lien simple et direct entre spin et comportement
statistique (bosonique ou fermionique) :
– les bosons sont les particules de spin entier ;
– les fermions sont les particules de spin demi-entier.
La généralisation de ce qui précède à un système comportant plusieurs particules éventuellement de différentes natures s’exprime de la façon suivante : le
système est décrit par une fonction d’onde
ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N ),
normalisée au sens (A.16), qui est
– symétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin de
deux particules indiscernables si ces particules sont des bosons, c’est-àdire des particules de spin entier ;
– antisymétrique vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de
spin de deux particules identiques si ces particules sont des fermions,
c’est-à-dire des particules de spin demi-entier.