A.2 Le paradigme quantique
355
ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N ),
x k ∈ IR
3 et σ k ∈ Σ k désignant respectivement les variables d’espace et de spin
de la k-ième particule. La fonction d’onde s’interprète toujours comme une
amplitude de probabilité de présence :
|ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2
représente la densité de probabilité à l’instant t de mesurer simultanément la
particule 1 au point x 1 dans l’état de spin σ 1 , la particule 2 au point x 2 dans
l’état de spin σ 2 , etc. La condition de normalisation s’écrit ici
σ1,···,σN
I R 3N
|ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2 dx 1 · · · dx N = 1.
(A.16)
La situation se complique à cause du
Quatrième postulat. Les particules de même nature sont indiscernables.
Une conséquence de ce postulat est que l’espace H n’est pas l’espace
L
2 (IR
3
× Σ 1 , C | ) ⊗ · · · ⊗ L
2 (IR
3
× Σ N , C | )
tout entier (sauf si les N particules sont toutes différentes les unes des autres).
Pour comprendre cela, limitons-nous dans un premier temps au cas de deux
particules identiques et introduisons l’opérateur P de permutation des deux
particules défini par
(P ψ)(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ) = ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ),
pour tout ψ ∈ H et tout ((x 1 , σ 1 ), (x 2 , σ 2 )) ∈ (IR
3
× Σ) × (IR
3
× Σ). En
raison du principe d’indiscernabilité, ψ et P ψ doivent donner le même résultat
(en probabilité) pour la mesure de n’importe quelle grandeur physique. Cela
signifie en particulier que pour toute observable ˆ
A et tout vecteur d’état ψ ∈ H
normalisé
P ψ, ˆ
A(P ψ) = ψ, ˆ
Aψ.
Donc pour toute observable ˆ
A,
P
∗ ˆ
AP = ˆ
A,
ce qui s’écrit aussi P ˆ
A = ˆ
AP (puisque P = P
∗ = P
−1 ). Comme seules les
homothéties commutent avec tous les opérateurs, il en résulte que
P | H = λI H .
Or P a deux valeurs propres +1 et −1 associées aux espaces propres
H S = L
2 (IR
3
× Σ) ⊗ S L
2 (IR
3
× Σ) et H A = L
2 (IR
3
× Σ)
L
2 (IR
3
× Σ)
des fonctions de L
2 (IR
3
× Σ, C | ) ⊗ L
2 (IR
3
× Σ, C | ) respectivement symétriques
et antisymétriques vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin
des deux particules. On est donc face à l’alternative suivante :
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ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N ),
x k ∈ IR
3 et σ k ∈ Σ k désignant respectivement les variables d’espace et de spin
de la k-ième particule. La fonction d’onde s’interprète toujours comme une
amplitude de probabilité de présence :
|ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2
représente la densité de probabilité à l’instant t de mesurer simultanément la
particule 1 au point x 1 dans l’état de spin σ 1 , la particule 2 au point x 2 dans
l’état de spin σ 2 , etc. La condition de normalisation s’écrit ici
σ1,···,σN
I R 3N
|ψ(t; x 1 , σ 1 ; · · · ; x N , σ N )|
2 dx 1 · · · dx N = 1.
(A.16)
La situation se complique à cause du
Quatrième postulat. Les particules de même nature sont indiscernables.
Une conséquence de ce postulat est que l’espace H n’est pas l’espace
L
2 (IR
3
× Σ 1 , C | ) ⊗ · · · ⊗ L
2 (IR
3
× Σ N , C | )
tout entier (sauf si les N particules sont toutes différentes les unes des autres).
Pour comprendre cela, limitons-nous dans un premier temps au cas de deux
particules identiques et introduisons l’opérateur P de permutation des deux
particules défini par
(P ψ)(x 1 , σ 1 ; x 2 , σ 2 ) = ψ(x 2 , σ 2 ; x 1 , σ 1 ),
pour tout ψ ∈ H et tout ((x 1 , σ 1 ), (x 2 , σ 2 )) ∈ (IR
3
× Σ) × (IR
3
× Σ). En
raison du principe d’indiscernabilité, ψ et P ψ doivent donner le même résultat
(en probabilité) pour la mesure de n’importe quelle grandeur physique. Cela
signifie en particulier que pour toute observable ˆ
A et tout vecteur d’état ψ ∈ H
normalisé
P ψ, ˆ
A(P ψ) = ψ, ˆ
Aψ.
Donc pour toute observable ˆ
A,
P
∗ ˆ
AP = ˆ
A,
ce qui s’écrit aussi P ˆ
A = ˆ
AP (puisque P = P
∗ = P
−1 ). Comme seules les
homothéties commutent avec tous les opérateurs, il en résulte que
P | H = λI H .
Or P a deux valeurs propres +1 et −1 associées aux espaces propres
H S = L
2 (IR
3
× Σ) ⊗ S L
2 (IR
3
× Σ) et H A = L
2 (IR
3
× Σ)
L
2 (IR
3
× Σ)
des fonctions de L
2 (IR
3
× Σ, C | ) ⊗ L
2 (IR
3
× Σ, C | ) respectivement symétriques
et antisymétriques vis-à-vis de l’échange des coordonnées d’espace et de spin
des deux particules. On est donc face à l’alternative suivante :