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A Introduction à la mécanique quantique
un électron, particule élémentaire de spin 1/2, de masse m e et de charge
q = −e (e désignant la charge élémentaire), l’hamiltonien en présence d’un
champ électromagnétique s’écrit dans la représentation matricielle (A.15)
H =
H 0 0
0 H 0
+
e¯ h
2m e
σ · B(x, t)
avec
H 0 =
1
2m e
(−i¯ h∇ + e A(x, t))
2
− e V(x, t).
H 0 agit ici sur L
2 (IR
3 , C | ) et H sur L
2 (IR
3 , C | 2 ). Dans le cas particulier où le
champ magnétique B est stationnaire et colinéaire à e 3 , on obtient
H =
H 0 +
e¯ h
2me B
0
0
H 0 −
e¯ h
2me B
.
L’évolution spatiale des composantes spin down et spin up n’est donc pas la
même. On peut utiliser cette propriété pour envoyer les électrons de spin up
dans une direction et les électrons de spin down dans une autre direction (c’est
la célèbre expérience de Stern et Gerlach [14]). La mesure de l’état de spin
conduit ainsi à une préparation du système (cf. section A.2.2.4).
Remarque A.9 Le modèle de Fermi-Amaldi étudié à la section 3.6 n’est
autre qu’un modèle de type Thomas-Fermi (cf. section 1.5.2) dans lequel un
champ magnétique introduit une dissymétrie entre densités électroniques de
spin up et de spin down.
Remarque A.10 On dit souvent que le spin est le moment cinétique interne
de la particule. C’est en effet un moment cinétique dans la mesure où, comme
le moment cinétique orbital L = x × p, il est directement relié au groupe des
rotations qui traduit l’isotropie de l’espace (en mécanique classique, le moment
cinétique orbital est la quantité conservée associée par le théorème de Noether
à l’invariance de l’action vis-à-vis des rotations). Les opérateurs de moment
cinétique orbital ˆ
L et de spin ˆ
S (qui vaut par exemple ˆ
S =
1
2 σ pour l’électron)
s’additionnent pour donner l’opérateur de moment cinétique total ˆ
J = ˆ
L + ˆ
S.
C’est l’observable associée à la grandeur physique “moment cinétique”, directement mesurable par séparation spatiale des composantes du moment cinétique
sous l’action d’un champ magnétique. Le qualificatif “interne” vient du fait
que le spin peut prendre des valeurs demi-entières et ne peut alors pas se
représenter, comme le moment cinétique orbital, par un vecteur de IR
3 .
A.2.4.3 Bosons et fermions
Lorsque le système comporte plusieurs particules, le vecteur d’état peut
s’écrire, en munissant l’espace d’un repère galiléen, sous la forme d’une fonction d’onde
A Introduction à la mécanique quantique
un électron, particule élémentaire de spin 1/2, de masse m e et de charge
q = −e (e désignant la charge élémentaire), l’hamiltonien en présence d’un
champ électromagnétique s’écrit dans la représentation matricielle (A.15)
H =
H 0 0
0 H 0
+
e¯ h
2m e
σ · B(x, t)
avec
H 0 =
1
2m e
(−i¯ h∇ + e A(x, t))
2
− e V(x, t).
H 0 agit ici sur L
2 (IR
3 , C | ) et H sur L
2 (IR
3 , C | 2 ). Dans le cas particulier où le
champ magnétique B est stationnaire et colinéaire à e 3 , on obtient
H =
H 0 +
e¯ h
2me B
0
0
H 0 −
e¯ h
2me B
.
L’évolution spatiale des composantes spin down et spin up n’est donc pas la
même. On peut utiliser cette propriété pour envoyer les électrons de spin up
dans une direction et les électrons de spin down dans une autre direction (c’est
la célèbre expérience de Stern et Gerlach [14]). La mesure de l’état de spin
conduit ainsi à une préparation du système (cf. section A.2.2.4).
Remarque A.9 Le modèle de Fermi-Amaldi étudié à la section 3.6 n’est
autre qu’un modèle de type Thomas-Fermi (cf. section 1.5.2) dans lequel un
champ magnétique introduit une dissymétrie entre densités électroniques de
spin up et de spin down.
Remarque A.10 On dit souvent que le spin est le moment cinétique interne
de la particule. C’est en effet un moment cinétique dans la mesure où, comme
le moment cinétique orbital L = x × p, il est directement relié au groupe des
rotations qui traduit l’isotropie de l’espace (en mécanique classique, le moment
cinétique orbital est la quantité conservée associée par le théorème de Noether
à l’invariance de l’action vis-à-vis des rotations). Les opérateurs de moment
cinétique orbital ˆ
L et de spin ˆ
S (qui vaut par exemple ˆ
S =
1
2 σ pour l’électron)
s’additionnent pour donner l’opérateur de moment cinétique total ˆ
J = ˆ
L + ˆ
S.
C’est l’observable associée à la grandeur physique “moment cinétique”, directement mesurable par séparation spatiale des composantes du moment cinétique
sous l’action d’un champ magnétique. Le qualificatif “interne” vient du fait
que le spin peut prendre des valeurs demi-entières et ne peut alors pas se
représenter, comme le moment cinétique orbital, par un vecteur de IR
3 .
A.2.4.3 Bosons et fermions
Lorsque le système comporte plusieurs particules, le vecteur d’état peut
s’écrire, en munissant l’espace d’un repère galiléen, sous la forme d’une fonction d’onde