A.2 Le paradigme quantique
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Représentation de spin 1. Les objets qui correspondent aux représentations de spin 1 ont trois composantes : ce sont les champs de vecteurs, qui se
transforment selon la loi (A.14). La variable de spin peut alors prendre trois
valeurs : Card(Σ) = 3.
Représentation de spin 1/2. Ce sera pour nous la représentation la plus
importante car elle permet de décrire l’électron. Les objets qui lui sont associés ont deux composantes souvent appelées spin up et spin down ou α et β ;
la variable de spin prend deux valeurs et on adopte généralement l’une des
notations suivantes : Σ = {|1/2, | − 1/2}, Σ = {|+, |−−} ou Σ = {| ↑↑, | ↓↓}.
Un champ de spin 1/2 peut aussi se représenter par un vecteur à deux composantes complexes
ψ(x) =
ψ(x, |+)
ψ(x, |−−)
.
(A.15)
La loi de transformation s’écrit dans ce formalisme
ψ n,θ (x, |+)
ψ n,θ (x, |−−)
= ˜
R n,θ ·
ψ(R
−1
n,θ x, |+)
ψ(R
−1
n,θ x, |−−)
avec
˜
R n,θ = cos
θ
2
− i sin
θ
2
σ · n,
où σ 1 , σ 2 et σ 3 désignent les matrices de Pauli
σ 1 =
0 1
1 0
σ 2 =
0 −i
i 0
σ 3 =
1 0
0 −1
.
Une conséquence curieuse de cette loi de transformation est qu’une rotation
de 2π autour d’un axe fixé ne donne pas l’identité mais “moins l’identité”
17 .
Remarque A.8 Exception faite du noyau d’Hydrogène, les noyaux atomiques
sont des assemblages de protons et de neutrons et il ne leur correspond pas
de représentation irréductible. Pour un noyau comportant K nucléons (les
nucléons sont les protons et les neutrons), la variable de spin peut prendre
1
4 (K + 2)
2 valeurs si K est pair,
1
4 (K + 1)(K + 3) valeurs si K est impair.
Lorsqu’on considère la dynamique d’une seule particule, le fait qu’elle possède
ou non un spin intervient à la marge
18 . L’hamiltonien et les autres observables
usuelles (vitesse, impulsion, moment cinétique, énergie potentielle, énergie
cinétique) sont en général indépendants du spin : un calcul de mécanique
quantique mené en oubliant la variable de spin donnera donc un résultat
conforme à l’expérience. Une exception notable à cette règle concerne le cas
où la particule est soumise à un champ magnétique car celui-ci introduit dans
l’hamiltonien un terme couplant les variables d’espace et de spin. Ainsi pour
17 Ceci est lié au fait que le groupe des rotations SO(3) n’est pas simplement connexe.
18 La situation est tout autre lorsqu’il y a plusieurs particules, cf. section suivante.
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Représentation de spin 1. Les objets qui correspondent aux représentations de spin 1 ont trois composantes : ce sont les champs de vecteurs, qui se
transforment selon la loi (A.14). La variable de spin peut alors prendre trois
valeurs : Card(Σ) = 3.
Représentation de spin 1/2. Ce sera pour nous la représentation la plus
importante car elle permet de décrire l’électron. Les objets qui lui sont associés ont deux composantes souvent appelées spin up et spin down ou α et β ;
la variable de spin prend deux valeurs et on adopte généralement l’une des
notations suivantes : Σ = {|1/2, | − 1/2}, Σ = {|+, |−−} ou Σ = {| ↑↑, | ↓↓}.
Un champ de spin 1/2 peut aussi se représenter par un vecteur à deux composantes complexes
ψ(x) =
ψ(x, |+)
ψ(x, |−−)
.
(A.15)
La loi de transformation s’écrit dans ce formalisme
ψ n,θ (x, |+)
ψ n,θ (x, |−−)
= ˜
R n,θ ·
ψ(R
−1
n,θ x, |+)
ψ(R
−1
n,θ x, |−−)
avec
˜
R n,θ = cos
θ
2
− i sin
θ
2
σ · n,
où σ 1 , σ 2 et σ 3 désignent les matrices de Pauli
σ 1 =
0 1
1 0
σ 2 =
0 −i
i 0
σ 3 =
1 0
0 −1
.
Une conséquence curieuse de cette loi de transformation est qu’une rotation
de 2π autour d’un axe fixé ne donne pas l’identité mais “moins l’identité”
17 .
Remarque A.8 Exception faite du noyau d’Hydrogène, les noyaux atomiques
sont des assemblages de protons et de neutrons et il ne leur correspond pas
de représentation irréductible. Pour un noyau comportant K nucléons (les
nucléons sont les protons et les neutrons), la variable de spin peut prendre
1
4 (K + 2)
2 valeurs si K est pair,
1
4 (K + 1)(K + 3) valeurs si K est impair.
Lorsqu’on considère la dynamique d’une seule particule, le fait qu’elle possède
ou non un spin intervient à la marge
18 . L’hamiltonien et les autres observables
usuelles (vitesse, impulsion, moment cinétique, énergie potentielle, énergie
cinétique) sont en général indépendants du spin : un calcul de mécanique
quantique mené en oubliant la variable de spin donnera donc un résultat
conforme à l’expérience. Une exception notable à cette règle concerne le cas
où la particule est soumise à un champ magnétique car celui-ci introduit dans
l’hamiltonien un terme couplant les variables d’espace et de spin. Ainsi pour
17 Ceci est lié au fait que le groupe des rotations SO(3) n’est pas simplement connexe.
18 La situation est tout autre lorsqu’il y a plusieurs particules, cf. section suivante.