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A Introduction à la mécanique quantique
V n,θ (x) = R n,θ · V (R
−1
n,θ · x)
(A.14)
– pour un champ de tenseurs d’ordre 2,
T n,θ = R n,θ · T (R
−1
n,θ · x) · R
−1
n,θ
– etc.
Une première constatation est que ces trois objets ne se transforment pas selon
les mêmes règles et que la connaissance de la loi de transformation permet de
discriminer entre ces trois objets.
Cette remarque incite à renverser la problématique : au lieu de partir des
objets fournis par la physique (scalaires, vecteurs, tenseurs, ...) et de regarder
comment ils se comportent vis-à-vis des rotations d’espace, étudions de façon
abstraite les représentations du groupe des rotations afin de recenser toutes les
natures d’objets susceptibles de correspondre à des champs physiques. Cette
analyse conduit à définir des objets élémentaires associés aux représentations
irréductibles du groupe des rotations, qui se trouvent être indicées par un
nombre positif entier ou demi entier. Ce nombre, c’est le spin.
De façon générale, l’objet associé à la représentation de spin j possède 2j + 1
composantes complexes (c’est un élément de C | 2j+1 ). On repère ces composantes par une variable σ ∈ Σ, la variable de spin, Σ désignant un ensemble
fini de cardinal 2j + 1. La fonction d’onde à un instant t d’une particule de
spin j peut donc s’écrire
ψ : IR
3
× Σ −→ C |
(x, σ) → ψ(x, σ)
ou de façon équivalente sous forme matricielle
ψ : IR
3
−→ C | 2j+1
x →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ψ(x, j)
ψ(x, j − 1)
.
.
.
ψ(x, −j + 1)
ψ(x, −j)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Les trois exemples de représentation irréductibles ci-dessous sont significatifs.
Représentation de spin 0. C’est la représentation la plus simple. L’objet
qui lui est associé ne possède qu’une composante : c’est le champ scalaire, qui
se transforme selon la loi (A.13). Pour décrire une particule de spin nul, il est
bien évidemment inutile d’introduire une variable de spin puisque celle-ci ne
pourrait prendre de toute façon qu’une seule valeur. Cela justifie le formalisme
adopté dans les sections précédentes.
A Introduction à la mécanique quantique
V n,θ (x) = R n,θ · V (R
−1
n,θ · x)
(A.14)
– pour un champ de tenseurs d’ordre 2,
T n,θ = R n,θ · T (R
−1
n,θ · x) · R
−1
n,θ
– etc.
Une première constatation est que ces trois objets ne se transforment pas selon
les mêmes règles et que la connaissance de la loi de transformation permet de
discriminer entre ces trois objets.
Cette remarque incite à renverser la problématique : au lieu de partir des
objets fournis par la physique (scalaires, vecteurs, tenseurs, ...) et de regarder
comment ils se comportent vis-à-vis des rotations d’espace, étudions de façon
abstraite les représentations du groupe des rotations afin de recenser toutes les
natures d’objets susceptibles de correspondre à des champs physiques. Cette
analyse conduit à définir des objets élémentaires associés aux représentations
irréductibles du groupe des rotations, qui se trouvent être indicées par un
nombre positif entier ou demi entier. Ce nombre, c’est le spin.
De façon générale, l’objet associé à la représentation de spin j possède 2j + 1
composantes complexes (c’est un élément de C | 2j+1 ). On repère ces composantes par une variable σ ∈ Σ, la variable de spin, Σ désignant un ensemble
fini de cardinal 2j + 1. La fonction d’onde à un instant t d’une particule de
spin j peut donc s’écrire
ψ : IR
3
× Σ −→ C |
(x, σ) → ψ(x, σ)
ou de façon équivalente sous forme matricielle
ψ : IR
3
−→ C | 2j+1
x →
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ψ(x, j)
ψ(x, j − 1)
.
.
.
ψ(x, −j + 1)
ψ(x, −j)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Les trois exemples de représentation irréductibles ci-dessous sont significatifs.
Représentation de spin 0. C’est la représentation la plus simple. L’objet
qui lui est associé ne possède qu’une composante : c’est le champ scalaire, qui
se transforme selon la loi (A.13). Pour décrire une particule de spin nul, il est
bien évidemment inutile d’introduire une variable de spin puisque celle-ci ne
pourrait prendre de toute façon qu’une seule valeur. Cela justifie le formalisme
adopté dans les sections précédentes.