A.2 Le paradigme quantique
351
e z
e
e x
y
n
q
Fig. A.6. Rotation de vecteur directeur n et d’angle θ.
En notant A la valeur de la grandeur physique relative au système de référence,
A n,θ la valeur de cette grandeur physique relative au système après rotation,
et R nθ la matrice
15
R n,θ = e
−iθn·J
avec
J 1 =
⎛
⎝
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
⎞
⎠ J 2 =
⎛
⎝
0 0 i
0 0 0
−i 0 0
⎞
⎠ J 3 =
⎛
⎝
0 −i 0
i 0 0
0 0 0
⎞
⎠ ,
on obtient ainsi
– pour un champ
16 scalaire,
S n,θ (x) = S
R
−1
n,θ · x
(A.13)
– pour un champ de vecteurs,
14 En probabilités pour ce qui est de la mécanique quantique.
15 Même si cela ne saute pas aux yeux, la matrice R n,θ est bien la matrice 3 × 3
à coefficients réels habituellement associée à la rotation de vecteur directeur n
et d’angle θ. Pour s’en convaincre, on peut considérer pour commencer le cas où
n = e3 ; on obtient alors
R e 3 ,θ = e
−iθJ 3
= exp
0 −θ 0
θ 0 0
0 0 0
=
cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0
0
1
.
Pour plus de précisions, on pourra se reporter à un ouvrage sur les groupes de
Lie ([180] par exemple).
16 On raisonne sur des champs car les objets qui nous intéressent in fine sont les
fonctions d’ondes.