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A Introduction à la mécanique quantique
A.2.4 Indiscernabilité des particules identiques
Nous nous sommes limités jusqu’à présent à des exemples de systèmes ne comportant qu’une seule particule. L’application du formalisme quantique au cas
où le système comporte plusieurs particules pose un problème supplémentaire
lié au concept fondamental d’indiscernabilité des particules identiques.
A.2.4.1 Notion d’indiscernabilité : le jeu de dés quantique
L’exemple suivant permet d’illustrer le concept d’indiscernabilité. On lance
deux dés (à six faces) “identiques” ; le résultat du tirage est un entier compris entre 2 (double un) et 12 (double six). Avec un jeu de dés classique la
probabilité d’obtenir le nombre 4 est, avec des dés non pipés, p 4 = 1/12 :
trois combinaisons donnent en effet ce résultat ((1,3), (2,2) et (3,1)) sur les 36
possibles.
Si on a affaire à des dés indiscernables au sens de la mécanique quantique,
les paires (1, 3) et (3, 1) ne forment qu’un seul et même état. La probabilité
d’obtenir le nombre 4 devient ˜
p 4 = 2/21 : deux combinaisons ((1,3) et (2,2))
donnent ce résultat sur les 21 possibles. Si cette façon de raisonner, qui est
correcte lorsqu’on travaille avec des objets quantiques comme les électrons
d’un système moléculaire, heurte notre intuition, c’est que tous les objets
qui nous manipulons au quotidien sont discernables : deux dés peuvent se
ressembler au point d’être indiscernables au sens courant du terme, mais il ne
le sont jamais au sens quantique du terme.
2
3
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5
6
7
8
9
10 11 12
Jeu classique 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
Jeu quantique 1/21 1/21 2/21 2/21 1/7 1/7 1/7 2/21 2/21 1/21 1/21
Cette façon de dénombrer les configurations possibles d’un système joue un
rôle fondamental en physique statistique [11], où l’on considère souvent des
systèmes formés d’un très grand nombre de particules indiscernables.
A.2.4.2 Un concept de plus : le spin
L’espace physique est isotrope : si on reproduit une expérience dans un référentiel galiléen après avoir fait effectuer au système et aux appareils de mesure,
une rotation globale, les résultats de l’expérience
14 ne seront pas modifiés.
Pour décrire cette propriété, il faut donc imposer aux lois de la Physique d’être
invariantes par rotation. Examinons pour cela comment les objets mathématiques qui constituent ces lois se transforment lorsqu’on opère une rotation de
vecteur directeur n et d’angle θ (cf. figure ci-dessous).
A Introduction à la mécanique quantique
A.2.4 Indiscernabilité des particules identiques
Nous nous sommes limités jusqu’à présent à des exemples de systèmes ne comportant qu’une seule particule. L’application du formalisme quantique au cas
où le système comporte plusieurs particules pose un problème supplémentaire
lié au concept fondamental d’indiscernabilité des particules identiques.
A.2.4.1 Notion d’indiscernabilité : le jeu de dés quantique
L’exemple suivant permet d’illustrer le concept d’indiscernabilité. On lance
deux dés (à six faces) “identiques” ; le résultat du tirage est un entier compris entre 2 (double un) et 12 (double six). Avec un jeu de dés classique la
probabilité d’obtenir le nombre 4 est, avec des dés non pipés, p 4 = 1/12 :
trois combinaisons donnent en effet ce résultat ((1,3), (2,2) et (3,1)) sur les 36
possibles.
Si on a affaire à des dés indiscernables au sens de la mécanique quantique,
les paires (1, 3) et (3, 1) ne forment qu’un seul et même état. La probabilité
d’obtenir le nombre 4 devient ˜
p 4 = 2/21 : deux combinaisons ((1,3) et (2,2))
donnent ce résultat sur les 21 possibles. Si cette façon de raisonner, qui est
correcte lorsqu’on travaille avec des objets quantiques comme les électrons
d’un système moléculaire, heurte notre intuition, c’est que tous les objets
qui nous manipulons au quotidien sont discernables : deux dés peuvent se
ressembler au point d’être indiscernables au sens courant du terme, mais il ne
le sont jamais au sens quantique du terme.
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Jeu classique 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
Jeu quantique 1/21 1/21 2/21 2/21 1/7 1/7 1/7 2/21 2/21 1/21 1/21
Cette façon de dénombrer les configurations possibles d’un système joue un
rôle fondamental en physique statistique [11], où l’on considère souvent des
systèmes formés d’un très grand nombre de particules indiscernables.
A.2.4.2 Un concept de plus : le spin
L’espace physique est isotrope : si on reproduit une expérience dans un référentiel galiléen après avoir fait effectuer au système et aux appareils de mesure,
une rotation globale, les résultats de l’expérience
14 ne seront pas modifiés.
Pour décrire cette propriété, il faut donc imposer aux lois de la Physique d’être
invariantes par rotation. Examinons pour cela comment les objets mathématiques qui constituent ces lois se transforment lorsqu’on opère une rotation de
vecteur directeur n et d’angle θ (cf. figure ci-dessous).