A.2 Le paradigme quantique
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q A
Ecran
Détecteur
Fente A
Fente B
M
Source
L
l/2
l/2
q B
z
Fig. A.5. Expérience des fentes d’Young et intégrales de chemin.
S(q A ) − S(q B )
m
2
t1
t0
˙
x
2
A dt −
t1
t0
˙
x
2
B dt
m
L A + L B
2(t 1 − t 0 )
(L A − L B ),
L A et L B désignant les longueurs respectives des trajectoires q A et q B . Si donc
la distance l entre les fentes est très petite devant la distance L séparant l’écran
du détecteur, on obtient L A −L B = (L
2 +(l/2−z)
2 )
1/2
−(L
2 +(l/2+z)
2 )
1/2
−lz/L. Finalement,
p(M, t 1 ) ∼ |C(t 1 )|
2
1 + cos
2π
z
Z(t 1 )
,
avec 1/Z(t 1 ) =
m
¯ h
L A + L B
2(t 1 − t 0 )
l
L
. L’état initial ψ 0 étant localisé en impulsion
autour de p = mv, la probabilité de mesurer l’électron en un point de l’écran
est maximale autour de l’instant T qui vérifie v L 1 /(T − t 0 ) L 2 /(T − t 0 ).
On en déduit,
p(M, T ) ∝ 1 + cos
2π
z
Z
,
avec 1/Z =
p
¯ h
l
L
. L’interfrange Z que l’on vient de calculer coïncide effectivement avec la valeur expérimentale. C’est la valeur obtenue en optique lorsqu’on effectue cette expérience de diffraction avec une onde électromagnétique
de nombre d’onde
13 k. On comprend mieux ainsi la relation de de Broglie
p = ¯
hk,
qui établit la dualité onde-corpuscule en associant à une particule d’impulsion
p une onde de nombre d’onde k = p/¯ h et réciproquement.
13 Le nombre d’onde k est relié à la longeur d’onde λ par l’égalité kλ = 2π.