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A Introduction à la mécanique quantique
où V = 0 en dehors de la zone correspondant à l’écran E, où V prend une
valeur “très grande”. On peut s’amuser à simuler numériquement cette situation et on verra effectivement se dessiner une figure d’interférence à l’avant
du détecteur.
Une interprétation plus esthétique consiste à utiliser le formalisme de l’intégrale de chemins [203]. On montre en effet que si une particule a été observée
au point x 0 à l’instant t 0 , l’amplitude de probabilité de présence à l’instant
t de la particule au point x, qui est solution de l’équation de Schrödinger
avec donnée initiale ψ(t = t 0 ) = δ x0 , s’exprime de manière équivalente sous la
forme
ψ(x, t) = C(t)
q(t 0 ) = x 0
q(t) = x
e
iS(q)/¯ h
D(q)
(A.12)
où la notation
q(t 0 ) = x 0
q(t) = x
D(q) désigne l’intégrale sur l’ensemble des chemins
q reliant x 0 à l’instant t 0 à x à l’instant t, S(q) l’action classique associée au
chemin q (définie à la section A.1.1), et C(t) un facteur de normalisation
12 .
Formellement, lorsque dS(q 0 ) est non nul, l’intégrande oscille au voisinage de
q 0 et la contribution totale des chemins du voisinage sera approximativement
nulle. Donc seuls les voisinages des chemins q 0 pour lesquels l’action est stationnaire (dS(q 0 ) = 0), autrement dit des trajectoires classiques, donneront
une contribution non négligeable à l’intégrale.
Dans le contexte de l’expérience (c), il y a deux trajectoires classiques reliant
S 0 à M , l’une notée q A passant par le trou A, l’autre notée q B passant par le
trou B.
La probabilité d’observer l’électron en M à l’instant t 1 varie donc selon
p(M, t 1 ) ∼ |C(t 1 )|
2
e
iS(qA)/¯ h + e
iS(qB )/¯ h
2
∼ |C(t 1 )|
2
1 + cos
S(q A ) − S(q B )
¯ h
.
Le long des trajectoires classiques q A et q B , la particule demeure pratiquement
toujours dans la zone où V est nul et la vitesse de la particule reste donc
pratiquement constante en module, par conservation de l’énergie. On en déduit
12 On peut donc quantifier le système en postulant la relation (A.12). Cette méthode
de quantification, dite par intégrale de chemins, est en fait de portée générale :
elle permet de quantifier n’importe quelle théorie classique pour laquelle existe
une formulation lagrangienne, et en particulier les théories de jauges. Notons que
l’introduction de la constante de Planck réduite est ici très naturelle : elle sert à
rendre la phase adimensionnelle.
A Introduction à la mécanique quantique
où V = 0 en dehors de la zone correspondant à l’écran E, où V prend une
valeur “très grande”. On peut s’amuser à simuler numériquement cette situation et on verra effectivement se dessiner une figure d’interférence à l’avant
du détecteur.
Une interprétation plus esthétique consiste à utiliser le formalisme de l’intégrale de chemins [203]. On montre en effet que si une particule a été observée
au point x 0 à l’instant t 0 , l’amplitude de probabilité de présence à l’instant
t de la particule au point x, qui est solution de l’équation de Schrödinger
avec donnée initiale ψ(t = t 0 ) = δ x0 , s’exprime de manière équivalente sous la
forme
ψ(x, t) = C(t)
q(t 0 ) = x 0
q(t) = x
e
iS(q)/¯ h
D(q)
(A.12)
où la notation
q(t 0 ) = x 0
q(t) = x
D(q) désigne l’intégrale sur l’ensemble des chemins
q reliant x 0 à l’instant t 0 à x à l’instant t, S(q) l’action classique associée au
chemin q (définie à la section A.1.1), et C(t) un facteur de normalisation
12 .
Formellement, lorsque dS(q 0 ) est non nul, l’intégrande oscille au voisinage de
q 0 et la contribution totale des chemins du voisinage sera approximativement
nulle. Donc seuls les voisinages des chemins q 0 pour lesquels l’action est stationnaire (dS(q 0 ) = 0), autrement dit des trajectoires classiques, donneront
une contribution non négligeable à l’intégrale.
Dans le contexte de l’expérience (c), il y a deux trajectoires classiques reliant
S 0 à M , l’une notée q A passant par le trou A, l’autre notée q B passant par le
trou B.
La probabilité d’observer l’électron en M à l’instant t 1 varie donc selon
p(M, t 1 ) ∼ |C(t 1 )|
2
e
iS(qA)/¯ h + e
iS(qB )/¯ h
2
∼ |C(t 1 )|
2
1 + cos
S(q A ) − S(q B )
¯ h
.
Le long des trajectoires classiques q A et q B , la particule demeure pratiquement
toujours dans la zone où V est nul et la vitesse de la particule reste donc
pratiquement constante en module, par conservation de l’énergie. On en déduit
12 On peut donc quantifier le système en postulant la relation (A.12). Cette méthode
de quantification, dite par intégrale de chemins, est en fait de portée générale :
elle permet de quantifier n’importe quelle théorie classique pour laquelle existe
une formulation lagrangienne, et en particulier les théories de jauges. Notons que
l’introduction de la constante de Planck réduite est ici très naturelle : elle sert à
rendre la phase adimensionnelle.