A.2 Le paradigme quantique
347
avec ω = (k/m)
1/2 . Remarquons que la pulsation ω de l’oscillateur quantique coïncide avec celle de l’oscillateur classique. Les vecteurs propres
correspondants sont les
ψ n (x) = C n e
−
mω
2¯ h |x|
2 H n
mω
¯ h
1/2
x
les H n (x) désignant les polynômes d’Hermite [73] et les C n des constantes
de normalisation.
Les ψ n formant une base de vecteurs propres de H = L
2 (IR), on peut
récrire l’hamiltonien ˆ
H sous la forme
ˆ
H =
+∞
n=0
n +
1
2
¯ hω ˆ
N n
où l’opérateur ˆ
N n , appelé nombre d’occupation de l’état n, désigne en
fait le projecteur orthogonal sur ψ n . Ce formalisme, dit de la seconde
quantification, est très répandu en théorie quantique des champs ; il est
également utilisé en chimie quantique pour décrire les états vibrationnels
des molécules (cf. section A.3.2.2).
– Ion hydrogénoïde (pour mémoire)
L’ion hydrogénoïde est le système moléculaire le plus simple : il est
constitué d’un noyau et d’un électron. Sous l’approximation de BornOppenheimer (cf. section A.3.2), il est décrit par l’hamiltonien
ˆ
H = −
¯ h
2
2m
∆ −
Ze
2
4ππ 0 |x|
opérant dans L
2 (IR
3 ). Dans l’expression ci-dessus, m et e désignent respectivement la masse et la charge de l’électron, 0 la permittivité diélectrique du vide, et Z le nombre de protons que comporte le noyau.
L’étude complète du spectre de ˆ
H est effectuée à la section 6.1.
A.2.3.5 Retour sur l’expérience des fentes d’Young
Nous sommes maintenant en mesure d’interpréter l’expérience des fentes
d’Young à l’aide du formalisme de la mécanique quantique. Lorsqu’un électron
est émis à l’instant t 0 par la source S 0 , il se trouve dans un état ψ 0 localisé
en position au voisinage du point x 0 et en impulsion au voisinage de la sphère
|p| = mv. Sa probabilité de présence à l’instant t en un point M de l’écran E
est |ψ(M, t)|
2 avec
i¯ h∂ t ψ = −
¯
h
2
2m ∆ψ + V ψ
ψ(t = 0) = ψ 0 ,
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avec ω = (k/m)
1/2 . Remarquons que la pulsation ω de l’oscillateur quantique coïncide avec celle de l’oscillateur classique. Les vecteurs propres
correspondants sont les
ψ n (x) = C n e
−
mω
2¯ h |x|
2 H n
mω
¯ h
1/2
x
les H n (x) désignant les polynômes d’Hermite [73] et les C n des constantes
de normalisation.
Les ψ n formant une base de vecteurs propres de H = L
2 (IR), on peut
récrire l’hamiltonien ˆ
H sous la forme
ˆ
H =
+∞
n=0
n +
1
2
¯ hω ˆ
N n
où l’opérateur ˆ
N n , appelé nombre d’occupation de l’état n, désigne en
fait le projecteur orthogonal sur ψ n . Ce formalisme, dit de la seconde
quantification, est très répandu en théorie quantique des champs ; il est
également utilisé en chimie quantique pour décrire les états vibrationnels
des molécules (cf. section A.3.2.2).
– Ion hydrogénoïde (pour mémoire)
L’ion hydrogénoïde est le système moléculaire le plus simple : il est
constitué d’un noyau et d’un électron. Sous l’approximation de BornOppenheimer (cf. section A.3.2), il est décrit par l’hamiltonien
ˆ
H = −
¯ h
2
2m
∆ −
Ze
2
4ππ 0 |x|
opérant dans L
2 (IR
3 ). Dans l’expression ci-dessus, m et e désignent respectivement la masse et la charge de l’électron, 0 la permittivité diélectrique du vide, et Z le nombre de protons que comporte le noyau.
L’étude complète du spectre de ˆ
H est effectuée à la section 6.1.
A.2.3.5 Retour sur l’expérience des fentes d’Young
Nous sommes maintenant en mesure d’interpréter l’expérience des fentes
d’Young à l’aide du formalisme de la mécanique quantique. Lorsqu’un électron
est émis à l’instant t 0 par la source S 0 , il se trouve dans un état ψ 0 localisé
en position au voisinage du point x 0 et en impulsion au voisinage de la sphère
|p| = mv. Sa probabilité de présence à l’instant t en un point M de l’écran E
est |ψ(M, t)|
2 avec
i¯ h∂ t ψ = −
¯
h
2
2m ∆ψ + V ψ
ψ(t = 0) = ψ 0 ,