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A Introduction à la mécanique quantique
Quelques exemples significatifs de quantification de l’énergie
– Particule confinée dans une boîte
Une particule confinée dans une boîte rectangulaire de dimension L x ×
L y × L z est décrite à tout instant t par une fonction d’onde
ψ(t) ∈ H
1
0 (]0, L x [×]0, L y [×]0, L z [).
Imposer ψ = 0 aux bords de la boîte revient à dire que la particule
ne peut pas sortir de la boîte même par effet tunnel : cela équivaut à
représenter les parois de la boîte par une barrière de potentiel infinie.
La particule se déplaçant librement à l’intérieur de la boîte, l’hamiltonien
qui lui est associé est donné par
ˆ
H = −
¯ h
2
2m
∆.
Le spectre de ˆ
H est connu : c’est un spectre purement ponctuel (l’inverse du laplacien de Dirichlet est compact sur ]0, L x [×]0, L y [×]0, L z [)
composé des nombres positifs
E lmn =
¯ h
2
2m
π
2 l
2
L 2
x
+
π
2 m
2
L 2
y
+
π
2 n
2
L 2
z
(l, m, n) parcourant l’ensemble IN
∗
× IN
∗
× IN
∗ ; la valeur propre E lmn
est associée au vecteur propre normalisé
ψ lmn (x, y, z) =
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L x L y L z
sin(π l x/L x ) sin(π m y/L y ) sin(π n z/L z ).
– Oscillateur harmonique à une dimension
L’hamiltonien classique décrivant un oscilateur harmonique s’écrit
H =
p
2
2m
+
1
2
kx
2 .
En appliquant les règles de correspondance (A.9) on obtient l’hamiltonien quantique
ˆ
H = −
¯ h
2
2m
d
2
dx 2 +
1
2
kx
2 .
Le potentiel
1
2 kx
2 est suffisamment confinant pour rendre compact l’inverse de l’opérateur ˆ
H. Le spectre de ˆ
H est donc purement ponctuel ;
ses valeurs propres, toutes de multiplicité égale à un, sont données par
E n =
n +
1
2
¯ hω