A.2 Le paradigme quantique
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pour un certain E réel, ψ désignant un élément de l’espace des états physiques
H non nécessairement normalisable.
On peut s’étonner de ce qu’un état stationnaire ait une dépendance temporelle. Ce qui justifie cette dénomination, c’est que la dépendance temporelle
ne se manifeste qu’à travers une phase globale e
−iEt/¯ h , qui ne modifie pas réellement l’état du système : le résultat (probabiliste) d’une mesure quelconque
n’est pas modifié si on remplace le vecteur d’état ψ par e
−iEt/¯ h ψ, cf. l’énoncé
du deuxième postulat.
Il est immédiat que la fonction ψ intervenant dans (A.11) est alors solution
de l’équation de Schrödinger stationnaire
ˆ
H ψ = E ψ,
E désignant l’énergie de ψ. Si ψ est normé (ce qui implique que E est dans
le spectre ponctuel de ˆ
H), Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h est une solution physiquement
admissible de l’équation de Schrödinger. On dit alors que ψ est un état lié du
système. Si au contraire ψ n’est pas normalisable, Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h n’est pas
une solution physiquement admissible, et on dit alors que ψ est un état de
diffusion.
Il existe donc un lien immédiat entre états stationnaires et états propres (généralisés) de l’observable énergie : après une mesure de l’énergie, le système va
se trouver dans un état stationnaire.
Remarquons que la dynamique du système s’exprime facilement si on connaît
la décomposition spectrale de l’hamiltonien. La solution de l’équation de
Schrödinger
i¯ h∂ t ψ = ˆ
Hψ
avec condition initiale ψ(0) = ψ 0 est en effet donné par
ψ(t) =
I R
e
−iλt/¯ h dP λ ψ 0 ,
(P λ ) λ∈I R désignant la famille spectrale associée à l’hamiltonien ˆ
H.
Précisons enfin qu’un minimiseur du problème variationnel quadratique
inf
ψ, ˆ
Hψ, ψ ∈ H, ψ = 1
est appelé un état fondamental (ou par ellipse un fondamental ) du système.
C’est en particulier un état lié de plus basse énergie, donc un état physiquement “stable”. La recherche du fondamental d’un système moléculaire est le
thème central de ce livre.
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pour un certain E réel, ψ désignant un élément de l’espace des états physiques
H non nécessairement normalisable.
On peut s’étonner de ce qu’un état stationnaire ait une dépendance temporelle. Ce qui justifie cette dénomination, c’est que la dépendance temporelle
ne se manifeste qu’à travers une phase globale e
−iEt/¯ h , qui ne modifie pas réellement l’état du système : le résultat (probabiliste) d’une mesure quelconque
n’est pas modifié si on remplace le vecteur d’état ψ par e
−iEt/¯ h ψ, cf. l’énoncé
du deuxième postulat.
Il est immédiat que la fonction ψ intervenant dans (A.11) est alors solution
de l’équation de Schrödinger stationnaire
ˆ
H ψ = E ψ,
E désignant l’énergie de ψ. Si ψ est normé (ce qui implique que E est dans
le spectre ponctuel de ˆ
H), Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h est une solution physiquement
admissible de l’équation de Schrödinger. On dit alors que ψ est un état lié du
système. Si au contraire ψ n’est pas normalisable, Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h n’est pas
une solution physiquement admissible, et on dit alors que ψ est un état de
diffusion.
Il existe donc un lien immédiat entre états stationnaires et états propres (généralisés) de l’observable énergie : après une mesure de l’énergie, le système va
se trouver dans un état stationnaire.
Remarquons que la dynamique du système s’exprime facilement si on connaît
la décomposition spectrale de l’hamiltonien. La solution de l’équation de
Schrödinger
i¯ h∂ t ψ = ˆ
Hψ
avec condition initiale ψ(0) = ψ 0 est en effet donné par
ψ(t) =
I R
e
−iλt/¯ h dP λ ψ 0 ,
(P λ ) λ∈I R désignant la famille spectrale associée à l’hamiltonien ˆ
H.
Précisons enfin qu’un minimiseur du problème variationnel quadratique
inf
ψ, ˆ
Hψ, ψ ∈ H, ψ = 1
est appelé un état fondamental (ou par ellipse un fondamental ) du système.
C’est en particulier un état lié de plus basse énergie, donc un état physiquement “stable”. La recherche du fondamental d’un système moléculaire est le
thème central de ce livre.