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A Introduction à la mécanique quantique
D’un point de vue classique, la réponse est simple :
– si E < V max , la particule franchit la barrière de potentiel,
– si E > V max , la particule est réfléchie par la barrière de potentiel
– dans le cas particulier où E = V max , la particule tend asymptotiquement
vers le sommet de la barrière qui est un point d’équilibre instable.
Il en va tout autrement en mécanique quantique : quelle que soit l’énergie
de la particule incidente, celle-ci traversera la barrière avec une probabilité p
et sera réfléchie avec une probabilité 1 − p. Plus précisément, à un instant t
suffisamment grand, la probabilité d’observer la particule en amont (resp. en
aval) de la barrière de potentiel sera égale à 1 − p (resp. à p).
En particulier, lorsque E < V max , la probabilité de franchissement p n’est pas
nulle (contrairement au cas classique). Elle peut être calculée analytiquement
pour une barrière rectangulaire de hauteur V max et de largeur a : on obtient
p = 16
E
V max
1 −
E
V max
e
−2a
√
2m(Vmax−E)/¯ h 2 .
On voit que le facteur déterminant de cette formule est une exponentielle.
L’effet tunnel est donc un phénomène extrêmement non linéaire relativement
aux paramètres du problème (la masse et l’énergie de la particule, la hauteur et
la largeur de la barrière de potentiel). La variation rapide de p avec la largeur
de la barrière de potentiel permet d’utiliser l’effet tunnel pour étudier le relief
d’une surface à l’échelle atomique : c’est le principe de la microscopie à effet
tunnel qui permet d’atteindre une résolution d’une fraction de nanomètre ; on
peut ainsi “voir” les atomes [28].
Toujours à cause de l’exponentielle, l’effet tunnel n’a aucune chance d’être
observé à l’échelle macroscopique. Pour illustrer ce point, les cours de mécanique quantique proposent généralement un exemple de ce type
11 : considérons
un cycliste de 70 kg (vélo compris) lancé à une vitesse V = 36 km/h s’apprétant à franchir une colline de 20 m de haut et de 50 m de large. S’il s’arrête
de pédaler, un calcul élémentaire de mécanique classique nous montre que
son inertie est nettement insuffisante pour qu’il franchisse la colline. Pour ce
faire, il devra ou bien pédaler ou bien parier sur l’effet tunnel qui lui laisse
une chance sur e
6,7.10
38 environ de traverser la colline sans effort.
A.2.3.4 Etats stationnaires
On considère un système isolé, donc décrit par un hamiltonien indépendant
du temps. Les états stationnaires jouent alors un rôle privilégié dans l’analyse
de l’équation de Schrödinger qui lui est associée. Ce sont par définition les
états Ψ (t) dont la dépendance en temps s’exprime sous la forme
Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h
(A.11)
11 Les valeurs numériques sont empruntées au cours de J.-L. Basdevant [14]
A Introduction à la mécanique quantique
D’un point de vue classique, la réponse est simple :
– si E < V max , la particule franchit la barrière de potentiel,
– si E > V max , la particule est réfléchie par la barrière de potentiel
– dans le cas particulier où E = V max , la particule tend asymptotiquement
vers le sommet de la barrière qui est un point d’équilibre instable.
Il en va tout autrement en mécanique quantique : quelle que soit l’énergie
de la particule incidente, celle-ci traversera la barrière avec une probabilité p
et sera réfléchie avec une probabilité 1 − p. Plus précisément, à un instant t
suffisamment grand, la probabilité d’observer la particule en amont (resp. en
aval) de la barrière de potentiel sera égale à 1 − p (resp. à p).
En particulier, lorsque E < V max , la probabilité de franchissement p n’est pas
nulle (contrairement au cas classique). Elle peut être calculée analytiquement
pour une barrière rectangulaire de hauteur V max et de largeur a : on obtient
p = 16
E
V max
1 −
E
V max
e
−2a
√
2m(Vmax−E)/¯ h 2 .
On voit que le facteur déterminant de cette formule est une exponentielle.
L’effet tunnel est donc un phénomène extrêmement non linéaire relativement
aux paramètres du problème (la masse et l’énergie de la particule, la hauteur et
la largeur de la barrière de potentiel). La variation rapide de p avec la largeur
de la barrière de potentiel permet d’utiliser l’effet tunnel pour étudier le relief
d’une surface à l’échelle atomique : c’est le principe de la microscopie à effet
tunnel qui permet d’atteindre une résolution d’une fraction de nanomètre ; on
peut ainsi “voir” les atomes [28].
Toujours à cause de l’exponentielle, l’effet tunnel n’a aucune chance d’être
observé à l’échelle macroscopique. Pour illustrer ce point, les cours de mécanique quantique proposent généralement un exemple de ce type
11 : considérons
un cycliste de 70 kg (vélo compris) lancé à une vitesse V = 36 km/h s’apprétant à franchir une colline de 20 m de haut et de 50 m de large. S’il s’arrête
de pédaler, un calcul élémentaire de mécanique classique nous montre que
son inertie est nettement insuffisante pour qu’il franchisse la colline. Pour ce
faire, il devra ou bien pédaler ou bien parier sur l’effet tunnel qui lui laisse
une chance sur e
6,7.10
38 environ de traverser la colline sans effort.
A.2.3.4 Etats stationnaires
On considère un système isolé, donc décrit par un hamiltonien indépendant
du temps. Les états stationnaires jouent alors un rôle privilégié dans l’analyse
de l’équation de Schrödinger qui lui est associée. Ce sont par définition les
états Ψ (t) dont la dépendance en temps s’exprime sous la forme
Ψ (t) = ψ e
−iEt/¯ h
(A.11)
11 Les valeurs numériques sont empruntées au cours de J.-L. Basdevant [14]