A.2 Le paradigme quantique
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ψ(x, t = 0) = ψ 0 (x) =
1
2πσ 2
0
3/4
exp
−(x − x 0 )
2
4σ 2
0
exp
ip 0 · x
¯ h
,
pour lequel x(0) = x 0 et p(0) = p 0 . L’équation de Schrödinger s’écrit pour
ce système
i¯ h∂ t ψ = −
¯ h
2
2m
∆ψ
et on obtient après calcul (exercice)
∀t ≥ 0,
|ψ(x, t)|
2 =
1
2πσ(t) 2
3/2
exp
−(x − (x 0 + p 0 t/m))
2
2σ(t) 2
avec σ(t)
2 = σ
2
0 +
∆p
2
0 /m
2
t
2 , ∆p 0 =
ψ 0 |ˆ p
2
|ψ 0 − −ψ 0 |ˆ p|ψ 0
2
1/2 =
√
3¯ h/2σ 0 désignant l’écart type sur l’impulsion à l’instant initial. A tout instant t ≥ 0, la densité de probabilité de présence de la particule est donc une
gaussienne de centre x 0 +
p0
m t et d’écart type σ(t). On en déduit les deux
propriétés suivantes :
1. la particule se déplace en moyenne à la vitesse constante v 0 = p 0 /m ;
2. le paquet d’onde s’étale. L’incertitude sur la position de la particule
∆x = σ(t) =
σ
2
0 +
∆p
2
0 /m
2
t
2
1/2
s’accroît asymptotiquement comme ∆v 0 t, ∆v 0 = ∆p 0 /m désignant l’incertitude sur la vitesse à l’instant initial.
Le paquet d’onde correspondant à un électron localisé autour d’un point de
l’espace avec un écart quadratique moyen de 10
−10 m (la taille d’un atome)
doublera de taille en 2 . 10
−16 s. Si vous posez ce livre sur une table, vous aurez
une chance sur mille de le retrouver par terre par délocalisation du paquet
d’onde au bout de 10
30 s.
Un effet typiquement quantique : l’effet tunnel
Considérons maintenant le problème de mécanique classique à une dimension
suivant : une particule d’énergie E s’approche d’une barrière de potentiel (cf.
Fig. A.4) ; va-t-elle la franchir ?
V max
Fig. A.4. Franchissement d’une barrière de potentiel.