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A Introduction à la mécanique quantique
Remarque A.7 Le théorème d’Ehrenfest est à rapprocher de la formule de
mécanique classique
dA
dt
=
∂A
∂t
+ {H, A} ,
exprimant la variation de l’observable
9 A le long d’une trajectoire de la dynamique hamiltonienne. La notation {H, A} désigne le crochet de Poisson défini
pour tout couple d’observables (f, g) par :
{f, g} =
n
i=1
∂f
∂x i
∂g
∂p i
−
∂f
∂p i
∂g
∂x i
.
Il est en fait possible de quantifier un système hamiltonien en utilisant la règle
de correspondance
{f, g} −→
i
¯ h
[ ˆ
f, ˆ
g].
Appliquons à titre d’exemple le théorème d’Erhenfest pour exprimer l’évolution des valeurs moyennes de la position et de l’impulsion d’une particule de
masse m évoluant dans un potentiel V (x, t), pour laquelle l’hamiltonien s’écrit
ˆ
H(t) = −
¯ h
2
2m
∆ + ˆ
V (t).
En remarquant que l’observable position (multiplication par x) commute avec
l’observable énergie potentielle (multiplication par V (x, t)), que l’observable
impulsion (−i¯ h∇) commute avec l’observable énergie cinétique (−¯ h
2 /2m ∆)
et en utilisant les relations de commutation
[∆, ˆ
x] = 2∇,
[ ˆ
V (t), ˆ
p] = i¯ h∇V (t)
on obtient par un calcul simple
d
dt
x =
1
m
p
d
dt
p = −−∇V (t).
Les lois de la mécanique classiques (A.7) sont donc vérifiées en moyenne.
A.2.3.3 Dynamique d’un paquet d’onde - Effet tunnel
Avant de présenter l’effet tunnel, examinons l’exemple instructif de la dynamique libre
10 d’un paquet d’ondes gaussien initialement de la forme
9 En mécanique classique, une observable est une fonction de x, p et t.
10 C’est-à-dire en l’absence de toute action extérieure.